数值分析 第五章 插值与逼近

插值条件

φ(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,...,n

唯一性定理

给定 {(xi,yi)|i=0,1,...,n} ,则满足插值条件的 n 次多项式 pn(x) 唯一.

n 次拉格朗日插值多项式

Ln(x)=∑k=0nlk(x)yk

Rn(x)=f(n+1)(ξx)(n+1)!ωn+1(x)

ξx∈(a,b)且与x有关

n 次拉格朗日基函数

形式

lk(x)=∏j=0j≠knx−xjxk−xj

性质

取f(x)=xk,k=0,1,...⇒∑i=0nli(x)xki=xk

特别地，当k=0时,∑i=0nli(x)=1

Newton插值多项式

差商

形式

f[x0,x1]=f(x1)−f(x0)x1−x0

...

f[x0,x1,...,xn]=f[x1,x2,...,xn]−f[x0,x1,...,xn−1]xn−x0

性质
1.线性组合
2.任意排列
3. n⩾k 时， f[x0,x1,...,xn−1,x] 是 n−k 次多项式； n<k 时， f[x0,x1,...,xn−1,x]=0
4. f[x0,x1,...,xk]=f(k)(ξ)k!

Newton插值多项式

形式

f(x)=Nn(x)+Rn(x)

Nn(x)=f(x0)+(x−x0)f[x0,x1]+...+(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)f[x0,x1,...,xn]

Rn(x)=(x−x0)(x−x1)...(x−xn)f[x0,x1,...,xn,x]

f[x0,x1,...,xn,x]=f(n)(ξx)(n+1)!

递推

Nk+1(x)=Nk(x)+ωk+1(x)f[x0,x1,...,xk+1]

Hermite插值

待续。。。

正则多项式

待续。。。

最小二乘法

给定数据集 {(xi,yi)|i=0,1,...,m} ,经验函数 y=∑nj=0φj(x)aj ,则 φj=(φj(x0),φj(x1),...,φj(xm))T ， f=(y0,y1,...,ym)T ， (φj,φk)=∑mi=0ρ(xi)φj(xi)φk(xi) ， (f,φj)=∑mi=0ρ(xi)φj(xi)yi
正则方程组为

⎡⎣⎢⎢⎢⎢(φ0,φ0)(φ1,φ0)...(φn,φ0)(φ0,φ1).....................(φ0,φn)......(φn,φn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢a0a1...an⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢(f,φ0)(f,φ1)...(f,φn)⎤⎦⎥⎥⎥⎥

拟合曲线

φ∗(x)=p∗n(x)=∑i=0nφ∗i(x)a∗i

均方误差

∥∥δ∗∥∥2=[∑i=0mρi(φ∗(xi)−yi)2]12