C++ 任意权值的单源最短路径（Bellman-Ford）

一、有Dijkstra算法求最短路径了，为什么还要用Bellman-Ford算法

        Dijkstra算法不适合用于带有负权值的有向图。

        如下图：

      用Dijkstra算法求顶点0到各个顶点的最短路径：

     （1）首先,把顶点0添加到已访问顶点集合S中，选取权值最小的邻边<0, 2>，权值为5

              记录顶点2的最短路径为：dist[2]=5, path[2]=0,把顶点2添加到集合S中。

              顶点2，没有邻边(从顶点2出发，其他顶点为终点的边)，结束；

     （2）访问<0, 1>边，权值为7，把顶点7添加到顶点集合S中，dist[1]=7, path[1]=0。

             虽然，顶点1有邻边<1,2>，但是因为顶点2已在集合S中，所以，不继续修改，结束程序。

      所以，最终dist[1]=7,dist[2]=5。显然结果不对，顶点2的最短路径应为：0->1->2，权值为7+（-5）=2

 

二、Bellman-Ford算法思路：

       Bellman-Ford算法，效率低，但是适合用于求带有负权值的单源最短路径。

       不考虑有回路的，如下图，顶点0到顶点1的最短路径可以无穷小

     下面开始简单描述Bellman-Ford的思路：

   

    

可以，看到：通过绕过一些顶点，可以取得更短的路径长度

  当k=1时，即从源点（顶点0）到其他顶点，只需要一条边。有<0,1>、<0,2>、<0,3>，所以有：dist[1]=6，dist[2]=5，dist[3]=5；

  当k=2时，需要2条边的，u=1，有0->2->3，长度为：5+（-2）=3， 更短，所以要修改dist[1]=3;

           u=2,有：0->3->2，长度为：5+(-2)=3,更短，所以要修改dist[2]=3;

           u=3，没有两条边从顶点0到达顶点3的路径；

           u=4，有0->1->4，长度为：6+（-1）=5， 更短，所以要修改dist[4]=5;

           u=5，有0->3->5，长度为：5+（-1）=4，更短，所以要修改dist[5]=4;

           u=6，没有2条边就可以从顶点0到顶点6的路径。

 重复上面步骤，直到k=n-1结束程序。

三、实现程序：

1.Graph.h：有向图

#ifndef Graph_h
#define Graph_h

#include 
using namespace std;

const int DefaultVertices = 30;

template 
struct Edge { // 边结点的定义
    int dest; // 边的另一顶点位置
    E cost; // 表上的权值
    Edge *link; // 下一条边链指针
};

template 
struct Vertex { // 顶点的定义
    T data; // 顶点的名字
    Edge *adj; // 边链表的头指针
};

template 
class Graphlnk {
public:
    const E maxValue = 100000; // 代表无穷大的值（=∞）
    Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 构造函数
    ~Graphlnk(); // 析构函数
    void inputGraph(); // 建立邻接表表示的图
    void outputGraph(); // 输出图中的所有顶点和边信息
    T getValue(int i); // 取位置为i的顶点中的值
    E getWeight(int v1, int v2); // 返回边（v1， v2）上的权值
    bool insertVertex(const T& vertex); // 插入顶点
    bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入边
    bool removeVertex(int v); // 删除顶点
    bool removeEdge(int v1, int v2); // 删除边
    int getFirstNeighbor(int v); // 取顶点v的第一个邻接顶点
    int getNextNeighbor(int v,int w); // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
    int getVertexPos(const T vertex); // 给出顶点vertex在图中的位置
    int numberOfVertices(); // 当前顶点数
private:
    int maxVertices; // 图中最大的顶点数
    int numEdges; // 当前边数
    int numVertices; // 当前顶点数
    Vertex * nodeTable; // 顶点表(各边链表的头结点)
};

// 构造函数:建立一个空的邻接表
template 
Graphlnk::Graphlnk(int sz) {
    maxVertices = sz;
    numVertices = 0;
    numEdges = 0;
    nodeTable = new Vertex[maxVertices]; // 创建顶点表数组
    if(nodeTable == NULL) {
        cerr << "存储空间分配错误！" << endl;
        exit(1);
    }
    for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
        nodeTable[i].adj = NULL;
}

// 析构函数
template 
Graphlnk::~Graphlnk() {
    // 删除各边链表中的结点
    for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
        Edge *p = nodeTable[i].adj; // 找到其对应链表的首结点
        while(p != NULL) { // 不断地删除第一个结点
            nodeTable[i].adj = p->link;
            delete p;
            p = nodeTable[i].adj;
        }
    }
    delete []nodeTable; // 删除顶点表数组
}

// 建立邻接表表示的图
template 
void Graphlnk::inputGraph() {
    int n, m; // 存储顶点树和边数
    int i, j, k;
    T e1, e2; // 顶点
    E weight; // 边的权值
    
    cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
    cin >> n >> m;
    cout << "请输入各顶点：" << endl;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        cin >> e1;
        insertVertex(e1); // 插入顶点
    }
    
    cout << "请输入图的各边的信息：" << endl;
    i = 0;
    while(i < m) {
        cin >> e1 >> e2 >> weight;
        j = getVertexPos(e1);
        k = getVertexPos(e2);
        if(j == -1 || k == -1)
            cout << "边两端点信息有误，请重新输入！" << endl;
        else {
            insertEdge(j, k, weight); // 插入边
            i++;
        }
    } // while
}

// 输出有向图中的所有顶点和边信息
template 
void Graphlnk::outputGraph() {
    int n, m, i;
    T e1, e2; // 顶点
    E weight; // 权值
    Edge *p;
    
    n = numVertices;
    m = numEdges;
    cout << "图中的顶点数为" << n << ",边数为" << m << endl;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        p = nodeTable[i].adj;
        while(p != NULL) {
            e1 = getValue(i); // 有向边dest>
            e2 = getValue(p->dest);
            weight = p->cost;
            cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
            p = p->link; // 指向下一个邻接顶点
        }
    }
}

// 取位置为i的顶点中的值
template 
T Graphlnk::getValue(int i) {
    if(i >= 0 && i < numVertices)
        return nodeTable[i].data;
    return NULL;
}

// 返回边（v1， v2）上的权值
template 
E Graphlnk::getWeight(int v1, int v2) {
    if(v1 != -1 && v2 != -1) {
        if(v1 == v2) // 说明是同一顶点
            return 0;
        Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一条关联的边
        while(p != NULL && p->dest != v2) { // 寻找邻接顶点v2
            p = p->link;
        }
        if(p != NULL)
            return p->cost;
    }
    return maxValue; // 边(v1, v2)不存在,就存放无穷大的值
}

// 插入顶点
template 
bool Graphlnk::insertVertex(const T& vertex) {
    if(numVertices == maxVertices) // 顶点表满，不能插入
        return false;
    nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
    numVertices++;
    return true;
}

// 插入边
template 
bool Graphlnk::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
    if(v1 == v2) // 同一顶点不插入
        return false;
    if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
        Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1对应的边链表头指针
        while(p != NULL && p->dest != v2) // 寻找邻接顶点v2
            p = p->link;
        if(p != NULL) // 已存在该边，不插入
            return false;
        p = new Edge; // 创建新结点
        p->dest = v2;
        p->cost = weight;
        p->link = nodeTable[v1].adj; // 链入v1边链表
        nodeTable[v1].adj = p;
        numEdges++;
        return true;
    }
    return false;
}

// 有向图删除顶点较麻烦
template 
bool Graphlnk::removeVertex(int v) {
    if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
        return false; // 表空或顶点号超出范围
    
    Edge *p, *s;
    // 1.清除顶点v的边链表结点w 边
    while(nodeTable[v].adj != NULL) {
        p = nodeTable[v].adj;
        nodeTable[v].adj = p->link;
        delete p;
        numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
    } // while结束
    // 2.清除，与v有关的边
    for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
        if(i != v) { // 不是当前顶点v
            s = NULL;
            p = nodeTable[i].adj;
            while(p != NULL && p->dest != v) {// 在顶点i的链表中找v的顶点
                s = p;
                p = p->link; // 往后找
            }
            if(p != NULL) { // 找到了v的结点
                if(s == NULL) { // 说明p是nodeTable[i].adj
                    nodeTable[i].adj = p->link;
                } else {
                    s->link = p->link; // 保存p的下一个顶点信息
                }
                delete p; // 删除结点p
                numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
            }
        }
    }
    numVertices--; // 图的顶点个数减1
    nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填补,此时numVertices，比原来numVertices小1，所以，这里不需要numVertices-1
    nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
    // 3.要将填补的顶点对应的位置改写
    for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
        p = nodeTable[i].adj;
        while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在顶点i的链表中找numVertices的顶点
            p = p->link; // 往后找
        if(p != NULL) // 找到了numVertices的结点
            p->dest = v; // 将邻接顶点numVertices改成v
    }
    return true;
}

// 删除边
template 
bool Graphlnk::removeEdge(int v1, int v2) {
    if(v1 != -1 && v2 != -1) {
        Edge * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
        while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1对应边链表中找被删除边
            q = p;
            p = p->link;
        }
        if(p != NULL) { // 找到被删除边结点
            if(q == NULL) // 删除的结点是边链表的首结点
                nodeTable[v1].adj = p->link;
            else
                q->link = p->link; // 不是，重新链接
            delete p;
            return true;
        }
    }
    return false; // 没有找到结点
}

// 取顶点v的第一个邻接顶点
template 
int Graphlnk::getFirstNeighbor(int v) {
    if(v != -1) {
        Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
        if(p != NULL) // 存在，返回第一个邻接顶点
            return p->dest;
    }
    return -1; // 第一个邻接顶点不存在
}

// 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
template 
int Graphlnk::getNextNeighbor(int v,int w) {
    if(v != -1) {
        Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
        while(p != NULL && p->dest != w) // 寻找邻接顶点w
            p = p->link;
        if(p != NULL && p->link != NULL)
            return p->link->dest;  // 返回下一个邻接顶点
    }
    return -1; // 下一个邻接顶点不存在
}

// 给出顶点vertex在图中的位置
template 
int Graphlnk::getVertexPos(const T vertex) {
    for(int i = 0; i < numVertices; i++)
        if(nodeTable[i].data == vertex)
            return i;
    return -1;
}

// 当前顶点数
template 
int Graphlnk::numberOfVertices() {
    return numVertices;
}

#endif /* Graph_h */

2.Bellman-Ford.h

#ifndef Bellman_Ford_h
#define Bellman_Ford_h
#include "Graph.h"

// Bellman-Ford算法
template
void BellmanFord(Graphlnk &G, int v, E dist[], int path[]) {
    int i, k, u, n = G.numberOfVertices();
    E w;
    
    // 1.初始化，将顶点v作为u顶点（存在有向边）的上一个顶点，记录路径
    for(i = 0; i < n; i++) {
        dist[i] = G.getWeight(v, i);
        if(i != v && dist[i] < G.maxValue)
            path[i] = v;
        else
            path[i] = -1;
    }
    // 2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行n-1次,因为上面算是1次:k=1，所以，k从2开始）
    bool isFlag; // 监视该轮dist数组是否有变化
    for(k = 2; k < n; k++) {
        isFlag = false;
        for(u = 0; u < n; u++) { // 遍历顶点，找不是v的顶点
            if(u != v) {
                for(i = 0; i < n; i++) {
                    w = G.getWeight(i, u);
                    if(w != 0 && w < G.maxValue && dist[u] > dist[i] + w) {
                        // 存在边，并且绕过i,使得路径更短，就修改u顶点的最短路径
                        // w可能是负权值，如果i和u是同一顶点，则w是0，排除同一顶点的情况
                        // 也可以不写w!=0，因为同一顶点，w=0,dist[u]==dist[i]+w会不满足
                        // dist[u] > dist[i] + w这个条件
                        dist[u] = dist[i] + w;
                        path[u] = i; // 记忆路径
                        isFlag = true;
                    }
                } // 第3重循环
            }
        } // 第2重循环
        if(isFlag == false) // 如果dist数组没有变化，说明各个顶点已求得最短路径
           break;
    } // 第1重for循环
}

// 从path数组读取最短路径的算法
template 
void printShortestPath(Graphlnk &G, int v, E dist[], int path[]) {
    int i, j, k, n = G.numberOfVertices();
    int *d = new int[n];
    
    cout << "从顶点" << G.getValue(v) << "到其他各顶点的最短路径为：" << endl;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        if(i != v) { // 如果不是顶点v
            j = i;
            k = 0;
            while(j != v) {
                d[k++] = j;
                j = path[j];
            }
            cout  << "顶点" << G.getValue(i) << "的最短路径为：" << G.getValue(v);
            while(k > 0)
                cout << "->" << G.getValue(d[--k]);
            cout << "，最短路径长度为：" << dist[i] << endl;
        }
    }
}
#endif /* Bellman_Ford_h */

3.main.cpp

/*
 测试数据：
 7 10
 0 1 2 3 4 5 6
 0 1 6
 0 2 5
 0 3 5
 1 4 -1
 2 1 -2
 2 4 1
 3 2 -2
 3 5 -1
 4 6 3
 5 6 3
 */

#include "Bellman-Ford.h"

const int maxSize = 40;

int main(int argc, const char * argv[]) {
    Graphlnk G; // 声明图对象
    int dist[maxSize], path[maxSize], v;
    char u0;
    
    // 创建图
    G.inputGraph();
    cout << "图的信息如下：" << endl;
    G.outputGraph();
    cout << "请输入起始顶点u0:" << endl;
    cin >> u0;
    v = G.getVertexPos(u0); // 取得起始顶点的位置
    // 我把dist数组放到有向图头文件中，方便建立有向图时，同时初始化dist数组
    BellmanFord(G, v, dist, path); // 调用BellmanFord函数
    printShortestPath(G, v, dist, path); // 输出到各个顶点的最短路径
    return 0;
}

测试结果：