[BZOJ1272][BeiJingWc2008]Gate Of Babylon（容斥原理+组合数学lucas定理）

题目描述

传送门

题解

首先容斥一下
答案=至少0个不满足限制的-至少一个不满足性质的+至少2个不满足性质的…
2t 枚举然后计算每一个的答案
假设我们现在要在n种物品中选出m个，相当于是将m个小球放在n个盒子里，允许为空
那么组合数就是 Cn−1n+m−1
但是这道题是“至多”m个，那么应该求的是 Cn−1n−1+Cn−1n+Cn−1n+1+...+Cn−1n+m−1
这个式子可以利用 Cji=Cji−1+Cj−1i−1 化简一下，在前面添加一个 Cnn−1 ，然后相邻两项合并
最终就是 Cnn+m

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 100005
#define LL long long

int n,t,m,Mod;
int b[N];
LL mul[N],inv[N],ans;

void init()
{
    mul[0]=1;
    for (int i=1;i<=Mod;++i) mul[i]=mul[i-1]*(LL)i%Mod;
    inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=Mod;++i) inv[i]=inv[Mod%i]*(Mod-Mod/i)%Mod;
    inv[0]=1;
    for (int i=1;i<=Mod;++i) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%Mod;
}
LL C(int n,int m)
{
    if (m>n) return 0;
    return mul[n]*inv[n-m]%Mod*inv[m]%Mod;
}
LL lucas(int n,int m)
{
    if (m>n) return 0;
    LL ans=1LL;
    for (;m;n/=Mod,m/=Mod)
        ans=ans*C(n%Mod,m%Mod)%Mod;
    return ans;
}
LL calc(int state)
{
    int now=m;
    for (int i=0;iif ((state>>i)&1) now-=b[i+1]+1;
    if (now<0) return 0;
    return lucas(n+now,n);
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&m,&Mod);
    init();
    for (int i=1;i<=t;++i) scanf("%d",&b[i]);
    for (int i=0;i<1<int opt=0;
        for (int j=0;jif ((i>>j)&1) ++opt;
        if (opt&1) ans-=calc(i);
        else ans+=calc(i);
        ans%=Mod;
    }
    ans=(ans+Mod)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
}