数论总结
先从简单的发起啦。。。。。
一、整除和同余
最简单的方式可以通过O(sqrt(n))的方式求解。
void solve(int x)
{
for (int i=2;i*i<=x;i++)
if (x%i==0) {
num[++cnt]=i;
while (x%i==0) x/=i;
}
if (x>1) num[++cnt]=x;
}
但是我们其实有更快速的方法,就是提前预处理好每个数的最小质因子,然后每次不断的除掉最小质因子,得到一个新的数,不断重复上述过程,时间复杂度O(logn)
void calc()
{
minp[1]=1;
for (int i=2;i<=10000000;i++) {
if (!pd[i]) {
prime[++prime[0]]=i;
minp[i]=prime[0];
}
for (int j=1;j<=prime[0];j++){
if (i*prime[j]>10000000) break;
minp[i*prime[j]]=j;
pd[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) break;
}
}
}
void solve(int x)
{
while (x!=1) {
num[i][++num[i][0]]=minp[x];
int t=prime[minp[x]];
while (x%t==0) x/=t;
}
}
三、gcd与lcm
void gcd(int x)
{
int r;
while (y){
r=x%y;
x=y;
y=r;
}
return x;
}
四、phi
先说一下phi的定义:phi(n)等于1到n中与n互质的数的个数
那么phi有什么性质呢?
当n为质数是,phi(n)=n-1,特别注意phi(1)=1
phi(p^k)=(p-1)*p^(k-1) p为质数
证明如下:令n == p^k,小于 n 的正整数共有 p^k-1 个,其中与 p 不互素的个数共 p^(k-1)-1 个,它们是 1*p,2*p,3*p ... (p^(k-1)-1)*p (p^k/p=p^(k-1),-1是因为除去本身)
phi(a)*phi(b)=phi(a*b) 这个性质应该积性函数都有吧,根据这个性质就可以用线性筛求phi啦,模板会在放在线性筛中。
与phi有关的定理——欧拉定理: 如果a,n都为正整数,且a,n互质那么a^phi(n)=1(mod n)
其实phi还可以用O(sqrt(n))的时间求出单个phi。
LL _phi(LL x){
LL ans=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
ans=ans*(i-1)/i;
while(x%i==0)x/=i;
}
}if(x>1)ans=ans*(x-1)/x;
return ans;
}
五、mu 莫比乌斯函数。
积性函数都可以O(sqrt(n))的求解,那mu可以吗?看mu的定义,发现都有质因数有关,所以我们可以在分解质因数的同时进行记录。代码不单独贴了。
昨天新get到了一种快速求mu的方法:
当mu(x)存在次数不为1的质因子时,答案为0,我们先不考虑这张情况,只统计质因子次数都为1的数就行了。那么μ的值实际上是-1和1互相变化的,那样就可以用一个类似状压dp的方法求出质因子是某一个状态mu的值,以及这个状态当质因子次数都为1时的因数的值。当
n<=109时至多有10个质因子,所以这样做的时间复杂度是O(2^s)
这里贴zyf2000的代码。。。orz
for (int i=0;i<(1<
这个算法需要先分解质因数,totp表示的是质因数的个数,i&(-i)其实就是树状数组的lowbit,表示的是二进制下最低位1的位置,i^i&(-i)相当于消掉这一位,实现1与-1的互换,d[i]存的是这个状态的数是多少。
六、线性筛
总算到线性筛啦,线性筛顾名思义,就是时间复杂度为线性的筛法,时间复杂度O(n)
可以求解质因数,phi,mu等等。
void get_p(){//欧拉筛
phi[1]=mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!p[i]){
prime[++prime[0]]=i;
phi[i]=i-1;mu[i]=-1;
}for(int j=1;j<=prime[0];j++){
if(i*prime[j]>n)break;
p[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
mu[i*prime[j]]=0;
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}else{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
}
既然说到了筛质数,那么就顺便提一下埃氏筛法,这个就是利用已知的质数筛掉他们的倍数,虽然某些情况下不如线性筛,但是当数据范围比较大(超过10^7),没法用线性筛的时候就可以用埃氏筛发来做,因为如果是合数的话至少存在一个小于sqrt(n)的质因子,所以我们可以通过枚举质因子来做。
七、逆元
费马小定理:a^(p-1)≡1 (mod p) p是质数
逆元是求a*x=1 (mod p) ,根据上式x=a^(p-2) 这时可以用快速幂求解。
int quickpow(int x,int num)
{
int ans=1; int base=num%p;
while (x){
if (x&1) ans=(ans*base)%p;
x>>=1;
base=(base*base)%p;
}
return ans;
}
那么当p不是质数的时候怎么办?
如果a,p互质,我们可以用exgcd扩展欧几里得算法来求解。
什么是扩欧?
设a,b的最大公因数为gcd ,那么,我们一定能够找到这样的 x 和 y ,使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程,有多解是一定的,但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么,我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解:
x = x0 + (b/gcd)*t
y = y0 – (a/gcd)*t
那么乘法逆元不就可以表示成ax+y*p=1 求此时的x,不就是逆元嘛。那么由这个式子就可以知道只有gcd(a,p)=1的时候方程才有解。
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if (b==0)
{
x=1; y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,x,y);
LL t=y;
y=x-(a/b)*y;
x=t;
}
那如果不满足a,p互质怎么办?我们可以将p分解,分别求解,然后用中国剩余定理合并。