bzoj 4445: [Scoi2015]小凸想跑步 （半平面交）
题目描述
传送门
题目大意：一个凸n边形，N个顶点按照逆时针从0～n-l编号。随机站在凸多边形内的某个位置，标记为
P点。将P点与n个顶点各连一条边，形成N个三角形。求P点，0号点，1号点形成的三角形的面
积是N个三角形中最小的一个的概率。
题解
nlogn半平面交。
主要就是化简出解析式，然后用半平面交求解不等式组。
可以用叉积表示三角形的面积，注意别叉反了，要么三角形的面积就是负的了。
设P(x,y)，可以得到
(x−a[i].x,y−a[i].y)×(x−a[i+1].x,y−a[i+1].y)>(x−a[0].x,y−a[0].y)×(x−a[1].x,y−a[1].y)
(a[i].y−a[i+1].y)x+(a[i+1].x−a[i].x)∗y+a[i].x∗a[i+1].y−a[i].y∗a[i+1].x>(a[0].y−a[1].y)x+(a[1].x−a[0].x)∗y+a[0].x∗a[1].y−a[0].y∗a[1].x
移项得
(a[i].y−a[i+1].y−a[0].y+a[1].y)x+(a[i+1].x−a[i].x−a[1].x+a[0].x)y+a[i].x∗a[i+1].y−a[i].y∗a[i+1].x−a[0].x∗a[1].y+a[0].y∗a[1].x>0
设 a=(a[i].y−a[i+1].y−a[0].y+a[1].y),b=(a[i+1].x−a[i].x−a[1].x+a[0].x),c=a[i].x∗a[i+1].y−a[i].y∗a[i+1].x−a[0].x∗a[1].y+a[0].y∗a[1].x
那么方程就化简成了 ax+by+c>0 的形式。
我们要用一个向量表示这条解析式，并且让向量的左边表示 ax+by+c>0 的部分。
我们选择在向量上的两个点，如果b>0,选取的两个点p1,p2的横坐标递增；如果b<0，选取的两个点的横坐标递减。向量 v=p2−p1
然后直接做 O(nlogn) 的半平面交就可以了。
需要注意的的细节就是a=0,b=0,a=0且b=0，这些情况需要特判。
代码
#includeint i,int j,double &a,double &b,double &c)
{
a=s[i].y-s[j].y;
b=s[j].x-s[i].x;
c=s[i].x*s[j].y-s[i].y*s[j].x;
}
void init()
{
p1[1]=data(inf,inf); p1[2]=data(-inf,inf); p1[3]=data(-inf,-inf); p1[4]=data(inf,-inf);
l[++cnt]=line(p1[1],p1[2]);
l[++cnt]=line(p1[2],p1[3]);
l[++cnt]=line(p1[3],p1[4]);
l[++cnt]=line(p1[4],p1[1]);
}
double cross(data a,data b)
{
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
data glt(line a,line b)
{
data v=a.p-b.p;
double t=cross(b.v,v)/cross(a.v,b.v);
return a.p+a.v*t;
}
int dcmp(double x)
{
if (fabs(x)return 0;
return x>0?1:-1;
}
bool Onleft(line a,data p)
{
return dcmp(cross(a.v,p-a.p))>=0;
}
void halfpins()
{
sort(l+1,l+cnt+1);
q[1]=l[1]; head=tail=1;
for (int i=2;i<=cnt;i++) {
while (head1])) tail--;
while (headq[++tail]=l[i];
if (fabs(cross(q[tail].v,q[tail-1].v))<0) {
tail--;
if (Onleft(q[tail],l[i].p)) q[tail]=l[i];
}
if (head1]=glt(q[tail],q[tail-1]);
}
while (headq[head],p[tail-1])) tail--;
if (tail-head<=1) return;
p[tail]=glt(q[tail],q[head]);
for (int i=head;i<=tail;i++)
poly[++m]=p[i];
poly[m+1]=poly[1];
}
double area(data a[],int n)
{
double ans=0;
for (int i=2;i<=n-1;i++)
ans+=cross(a[i]-a[1],a[i+1]-a[1]);
return ans;
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&s[i].x,&s[i].y);
s[n+1]=s[1];
double squ=area(s,n);
for (int i=1;i<=n;i++) l[++cnt]=line(s[i],s[i+1]);
double a,b,c; double a1,b1,c1; double a2,b2,c2;
calc(1,2,a1,b1,c1);
bool pd=true;
for (int i=2;i<=n;i++) {
calc(i,i+1,a2,b2,c2);
a=a2-a1; b=b2-b1; c=c2-c1;
if (a==0&&b==0&&c<0) {
pd=false;
break;
}
if (b==0) {
double t=-c/a;
if (a>0) l[++cnt]=line(data(t,0),data(t,-1));
else l[++cnt]=line(data(t,0),data(t,1));
continue;
}
if (a==0) {
double t=-c/b;
if (b>0) l[++cnt]=line(data(0,t),data(1,t));
else l[++cnt]=line(data(0,t),data(-1,t));
continue;
}
data p1,p2; p1.x=1; p2.x=2;
p1.y=(-c-a*p1.x)/b;
p2.y=(-c-a*p2.x)/b;
if (b<0) swap(p1,p2);
l[++cnt]=line(p1,p2);
}
init();
halfpins();
if (!pd||m==0) {
printf("0.0000\n");
return 0;
}
double s1=area(poly,m);
printf("%.4lf\n",s1/squ);
}