斐波那契数列通项公式推导及其类似构造共轭公式反求递推式

一、斐波那契数列通项公式推导

我们知道斐波那契数列递推公式

fn=fn−1+fn−2(n≥2) f n = f n − 1 + f n − 2 ( n ≥ 2 )

即

fn−fn−1−fn−2=0 f n − f n − 1 − f n − 2 = 0

求解这个递推关系的一种方法是寻找形式为

fn=qn f n = q n

的解

因此得到

qn−qn−1−qn−2=0 q n − q n − 1 − q n − 2 = 0

qn−2(q2−q−1)=0 q n − 2 ( q 2 − q − 1 ) = 0

所以我们求解

q2−q−1=0 q 2 − q − 1 = 0

的解

发现方程的根为

q1=1+5–√2,q2=1−5–√2 q 1 = 1 + 5 2 , q 2 = 1 − 5 2

因此

fn=(1+5–√2)n,fn=(1−5–√2)n f n = ( 1 + 5 2 ) n , f n = ( 1 − 5 2 ) n

两者都为斐波那契递推关系的解。

因为非波那契递推关系是线性的且齐次，所以对于任选常数 c1,c2 c 1 , c 2

fn=c1(1+5–√2)n+c2(1−5–√2)n f n = c 1 ( 1 + 5 2 ) n + c 2 ( 1 − 5 2 ) n

因为我们知道任意 fn的值，所以只需枚举两个n的数解方程组即可 f n 的 值 ， 所 以 只 需 枚 举 两 个 n 的 数 解 方 程 组 即 可

{ (n=0)  c1+c2=0 (n=1)  c1(1+5√2)+c2(1−5√2)=1 {   ( n = 0 )     c 1 + c 2 = 0   ( n = 1 )     c 1 ( 1 + 5 2 ) + c 2 ( 1 − 5 2 ) = 1

解得

c1=15–√,c2=−15–√ c 1 = 1 5 , c 2 = − 1 5

综上所述：

非波那契数满足公式

fn=15–√(1+5–√2)n−15–√(1−5–√2)n f n = 1 5 ( 1 + 5 2 ) n − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n

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二、构造共轭公式并反求递推关系

为什么要讲这个东西呢

因为最近做到了几个题，涉及到求解含有根号的多项式的高次幂

即求解形式

(a+b√)n ( a + b ) n

对于这样的题目的求解，我们必然要联想非波那契通项公式

因此我们会构造数列

fn=(a+b√)n+(a−b√)n f n = ( a + b ) n + ( a − b ) n

类似于非波那契通项公式对吧

那么这个数列怎么求呢，我们要是知道递推关系就好了

所以下面说一下怎么求出递推关系

其实看了上面非波那契数列通项公式的推导过程大家就明白了，就是上面的过程倒着来一边嘛

我们设的推关系满足形式：

fn=p⋅fn−1+q⋅fn−2 f n = p ⋅ f n − 1 + q ⋅ f n − 2

类比上面推导过程相当于我们已经知道了方程

f2−pf−q=0 f 2 − p f − q = 0

的两个解

f1=a+b√,f2=a−b√ f 1 = a + b , f 2 = a − b

所以带入求解p，q即可

最终得到：

{ p=2a q=b−a2 {   p = 2 a   q = b − a 2

因此我们得到了递推式

fn=2a⋅fn−1+(b−a2)⋅fn−2 f n = 2 a ⋅ f n − 1 + ( b − a 2 ) ⋅ f n − 2

对于这样递推式的求解对于取模的情况，我们可以尝试打表看看取模有没有循环节，如果发现有那就可以直接线性预处理出循环节长度即可，否则用矩阵快速幂，可以解决所有递推式的快速求解