原文链接:
http://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Undirected-Graphs.html
图的应用很广泛,也有很多非常有用的算法,当然也有很多待解决的问题,根据性质,图可以分为无向图和有向图。本文介绍无向图。
图是若干个顶点(Vertices)和边(Edges)相互连接组成的。边仅由两个顶点连接,并且没有方向的图称为无向图。 在研究图之前,有一些定义需要明确,下图中表示了图的一些基本属性的含义,这里就不多说明。
在研究图之前,我们需要选用适当的数据结构来表示图,有时候,我们常被我们的直觉欺骗,如下图,这两个其实是一样的,这其实也是一个研究问题,就是如何判断图的形态。
要用计算机处理图,我们可以抽象出以下的表示图的API:
Graph的API的实现可以由多种不同的数据结构来表示,最基本的是维护一系列边的集合,如下:
还可以使用邻接矩阵来表示:
也可以使用邻接列表来表示:
由于采用如上方式具有比较好的灵活性,采用邻接列表来表示的话,可以定义如下数据结构来表示一个Graph对象。
public class Graph
{
private readonly int verticals;//顶点个数
private int edges;//边的个数
private List<int>[] adjacency;//顶点联接列表
public Graph(int vertical)
{
this.verticals = vertical;
this.edges = 0;
adjacency=new List<int>[vertical];
for (int v = 0; v < vertical; v++)
{
adjacency[v]=new List<int>();
}
}
public int GetVerticals ()
{
return verticals;
}
public int GetEdges()
{
return edges;
}
public void AddEdge(int verticalStart, int verticalEnd)
{
adjacency[verticalStart].Add(verticalEnd);
adjacency[verticalEnd].Add(verticalStart);
edges++;
}
public List<int> GetAdjacency(int vetical)
{
return adjacency[vetical];
}
}
图也分为稀疏图和稠密图两种,如下图:
在这两个图中,顶点个数均为50,但是稀疏图中只有200个边,稠密图中有1000个边。在现实生活中,大部分都是稀疏图,即顶点很多,但是顶点的平均度比较小。
采用以上三种表示方式的效率如下:
在讨论完图的表示之后,我们来看下在图中比较重要的一种算法,即深度优先算法:
在谈论深度优先算法之前,我们可以先看看迷宫探索问题。下面是一个迷宫和图之间的对应关系:
迷宫中的每一个交会点代表图中的一个顶点,每一条通道对应一个边。
迷宫探索可以采用Trémaux绳索探索法。即:
深度优先搜索算法模拟迷宫探索。在实际的图处理算法中,我们通常将图的表示和图的处理逻辑分开来。所以算法的整体设计模式如下:
下面是深度优先的基本代码,我们可以看到,递归调用dfs方法,在调用之前判断该节点是否已经被访问过。
public class DepthFirstSearch
{
private bool[] marked;//记录顶点是否被标记
private int count;//记录查找次数
private DepthFirstSearch(Graph g, int v)
{
marked = new bool[g.GetVerticals()];
dfs(g, v);
}
private void dfs(Graph g, int v)
{
marked[v] = true;
count++;
foreach (int vertical in g.GetAdjacency(v))
{
if (!marked[vertical])
dfs(g,vertical);
}
}
public bool IsMarked(int vertical)
{
return marked[vertical];
}
public int Count()
{
return count;
}
}
有了这个基础,我们可以实现基于深度优先的路径查询,要实现路径查询,我们必须定义一个变量来记录所探索到的路径。
所以在上面的基础上定义一个edgesTo变量来后向记录所有到s的顶点的记录,和仅记录从当前节点到起始节点不同,我们记录图中的每一个节点到开始节点的路径。为了完成这一日任务,通过设置edgesTo[w]=v,我们记录从v到w的边,换句话说,v-w是做后一条从s到达w的边。 edgesTo[]其实是一个指向其父节点的树
public class DepthFirstPaths
{
private bool[] marked;//记录是否被dfs访问过
private int[] edgesTo;//记录最后一个到当前节点的顶点
private int s;//搜索的起始点
public DepthFirstPaths(Graph g, int s)
{
marked = new bool[g.GetVerticals()];
edgesTo = new int[g.GetVerticals()];
this.s = s;
dfs(g, s);
}
private void dfs(Graph g, int v)
{
marked[v] = true;
foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
{
if (!marked[w])
{
edgesTo[w] = v;
dfs(g,w);
}
}
}
public bool HasPathTo(int v)
{
return marked[v];
}
public Stack<int> PathTo(int v)
{
if (!HasPathTo(v)) return null;
Stack<int> path = new Stack<int>();
for (int x = v; x!=s; x=edgesTo[x])
{
path.Push(x);
}
path.Push(s);
return path;
}
}
上图中是黑色线条表示 深度优先搜索中,所有定点到原点0的路径, 他是通过edgeTo[]这个变量记录的,可以从右边可以看出,他其实是一颗树,树根即是原点,每个子节点到树根的路径即是从原点到该子节点的路径。
通常我们更关注的是一类单源最短路径的问题,那就是给定一个图和一个源S,是否存在一条从s到给定定点v的路径,如果存在,找出最短的那条(这里最短定义为边的条数最小)
深度优先算法是将未被访问的节点放到一个堆中(stack),虽然在上面的代码中没有明确在代码中写stack,但是 递归 间接的利用递归堆实现了这一原理。
和深度优先算法不同, 广度优先是将所有未被访问的节点放到了队列中。其主要原理是:
广度优先是以距离递增的方式来搜索路径的。
class BreadthFirstSearch
{
private bool[] marked;
private int[] edgeTo;
private int sourceVetical;//Source vertical
public BreadthFirstSearch(Graph g, int s)
{
marked=new bool[g.GetVerticals()];
edgeTo=new int[g.GetVerticals()];
this.sourceVetical = s;
bfs(g, s);
}
private void bfs(Graph g, int s)
{
Queue<int> queue = new Queue<int>();
marked[s] = true;
queue.Enqueue(s);
while (queue.Count()!=0)
{
int v = queue.Dequeue();
foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
{
if (!marked[w])
{
edgeTo[w] = v;
marked[w] = true;
queue.Enqueue(w);
}
}
}
}
public bool HasPathTo(int v)
{
return marked[v];
}
public Stack<int> PathTo(int v)
{
if (!HasPathTo(v)) return null;
Stack<int> path = new Stack<int>();
for (int x = v; x!=sourceVetical; x=edgeTo[x])
{
path.Push(x);
}
path.Push(sourceVetical);
return path;
}
}
广度优先算法的搜索步骤如下:
广度优先搜索首先是在距离起始点为1的范围内的所有邻接点中查找有没有到达目标结点的对象,如果没有,继续前进在距离起始点为2的范围内查找,依次向前推进。
本文简要介绍了无向图中的深度优先和广度优先算法,这两种算法时图处理算法中的最基础算法,也是后续更复杂算法的基础。其中图的表示,图算法与表示的分离这种思想在后续的算法介绍中会一直沿用。