《Learning OpenCV 3》Delaunay三角剖分和Voronoi图讲解

OpenCV2、OpenCV3包含三角剖分的接口,但是参考文档里并未介绍,给学习带来了麻烦。

有一本经典的书《学习OpenCV》对其做了详细介绍。但苦于这本书的新版,迟迟没有翻译成中文,所以现在有关OpenCV三角剖分的资料都是关于OpenCV1的,是C语言的接口。

我边学习边分享一下,自己的理解水平有限,如有错漏,谢谢指正。由于时间有限,不逐字翻译了,根据内容来。

原文参考《Learning OpenCV 3》附录A:平面剖分。第923-937页。


前面很大一部分是平面剖分的理论,不做翻译,只简单提一下。讲了Delaunay三角剖分的特性和相关的计算方法。Delaunay是一个点集三角化的标准,在所有剖分方案中,满足所有三角形的最小角的和是最大的。Delaunay剖分是唯一的,是最接近规则化的三角网。Delaunay剖分有很多算法实现。OpenCV应用的是逐点插入法,这从函数接口可以得出。

Delaunay三角剖分和Voronoi图是对偶的,这意味着计算出了Delaunay剖分,Voronoi图也就确定了。直观感受一下:

《Learning OpenCV 3》Delaunay三角剖分和Voronoi图讲解_第1张图片


重点来了,下面是OpenCV有关函数接口的理解和使用方法说明。

创建Delaunay 或者 Voronoi 剖分

首先需要在内存中开辟一块地方来存储Delaunay剖分。我们也需要一个方框(记住,为了加速计算,算法处理过程中,在这个方框的外面需要一个虚拟的外围三角形)。

《Learning OpenCV 3》Delaunay三角剖分和Voronoi图讲解_第2张图片

为了尽快开始,就假设这些点必须在一个600*600的图像中吧。

// STRUCTURE FOR DELAUNAY SUBDIVISION
//
...
cv::Rect rect(0, 0, 600, 600); // Our outer bounding box
cv::Subdiv2D subdiv(rect); // Create the initial subdivision

这些代码创建了初始的剖分,一个三角形包含一个特定的矩形框。

接下来,我们需要知道怎么插入点。这些点必须是32位float类型的,或者是带有整数坐标值的点(cv::Point)。在后面的案例中,它们会自动转换为float类型。插入点使用cv::Subdiv2D::insert()函数。

(译者注:方便起见,后面很多相关函数省略cv::Subdiv2D命名空间了)

cv::Point2f fp; //This is our point holder
for( int i = 0; i < as_many_points_as_you_want; i++ ) {
// However you want to set points
//
fp = your_32f_point_list[i];
subdiv.insert(fp);
}

现在,点已经输入完毕,我们能够得到Delaunay三角剖分。从Delaunay三角剖分中计算三角形,使用getTiangleList()函数。

vector triangles;
subdiv.getTriangleList(triangles);

调用之后,,在三角形中的每个Vec6f包含三个顶点:( x1,y1,x2,y2,x3,y3, )。

得到对应的Voronoi图使用函数getVoronoiFaceList

vector<vector > facets;
vector centers;
subdiv.getVoronoiFacetList(vector<int>(), facets, centers);

facets包含Voronoi小面块(译者注:里面的点数据只包括多边形的顶点)centers包含对应的区域中心。

值得一提的是,Delaunay三角化是迭代构建的,意味着,每插入一个点,三角剖分都会更新,所以它是总是更新的。然而,Voronoi图是当你调用calcVoronoi()一次性构建的。可选的是,你可以调用前面提到的getVoronoiFaceList()(它内部调用了calcVoronoi())来随之更新。

既然,我们已经创建好了一个二维点集的Delaunay剖分以及对应的Voronoi图。下一步就是学习怎么遍历这个剖分。


遍历Delaunay剖分

平面剖分基本的数据元素是,通过序号访问边。通过这个序号还可访问相邻边,附加的参数还可指定想要访问的边同当前边的位置关系。每个边两个端点叫做origindestination。一个边会和其它边共享这些点。最后,存在一个对应(对偶)边,每个Delaunay剖分的边都有Voronoi剖分的边相对应。

记住一点,在cv::Subdiv2D接口中,对待边总是直接的,这实际上是为了方便。

还有,边有方向。两个点包含两条边,因为区分origindestination

根据边访问点

不论Delaunay剖分,还是Voronoi剖分,边都有起点和终点。访问边的端点如下:

int cv::Subdiv2D::edgeOrg( int edge, cv::Point2f* orgpt = 0 ) const;
int cv::Subdiv2D::edgeDst( int edge, cv::Point2f* dstpt = 0 ) const;

edge是输入,是边的序号。参数表第二项返回点本身。函数返回点的序号。

给定点序号,可以得到点的坐标,和相关的边。

cv::Point2f cv::Subdiv2D::getVertex( int vertex, int* firstEdge = 0 ) const;

(译者注:这里的firstEdge和点的关系不清楚,读者可以考证一下)

需要注意,和边一样,点有序号。当然点也有坐标。Subdiv2D接口故意设计成这样,在绝大多数的接口函数中,你主要使用的是边和点的序号。

在剖分中定位点

一个可能发生的情况是:你有一个特定点的位置信息,但是想找到它在剖分中的序号。
相似的情况:可能这个点实际上并不是剖分中的顶点,但是你想找到包含这个点的三角形或小面块。方法locate()把一个点作为输入,返回这个点所在的一条边。或者包含这个点的三角形或面块的一条边(如果这条边不是顶点)。注意,在这种情况下,返回的不一定是距离最近的边,只是简单的返回包含点的三角形或面块的其中一条边。当点是顶点时,locate()也会返回顶点的ID。

int cv::Subdiv2D::locate(
cv::Point2f pt,
int& edge,
int& vertex
);

函数返回值,告诉我们,点的着落位置

cv::Subdiv2D::PTLOC_INSIDE
点落在面块内部,*edge是其中一条边。

cv::Subdiv2D::PTLOC_ON_EDGE
点落在边上 *edge包含这条边。

cv::Subdiv2D::PTLOC_VERTEX
点落在剖分的顶点上, *vertex 包含顶点指针。

cv::Subdiv2D::PTLOC_OUTSIDE_RECT
点落在参考矩形外面,返回指针无效。

cv::Subdiv2D::PTLOC_ERROR
输入参数无效访问

环绕顶点遍历

给定一条边,你可能想访问跟这条边的起点或终点连接的新边。实现这项工作的方法是,我们指定一个起始边,我们绕着它的“头”点或者“尾”点,逆时针,亦或者顺时针搜寻下一条边。这种设计的说明见下图。我们通过函数getEdge()来实现。

int cv:Subdiv2D::getEdge(
int edge,
int nextEdgeType // see text below
) const;

《Learning OpenCV 3》Delaunay三角剖分和Voronoi图讲解_第3张图片

当调用这个函数时,我们需提供当前边和nextEdgeType参数,可选的参数值如下:

  • cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_ORG, 绕起点下一条边 (eOnext)
  • cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_DST, 绕终点下一条边 (eDnext)
  • cv::Subdiv2D::PREV_AROUND_ORG, 绕起点上一条边 (反向 eRnext)
  • cv::Subdiv2D::PREV_AROUND_DST, 绕终点上一条边 (反向 eLnext)

怎么遍历完全取决于你,也可以绕三角形或面块遍历,参数值如下:

  • cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_LEFT, 环绕左侧面块的下一条边 (eLnext)
  • cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_RIGHT,环绕右侧面块的下一条边 (eRnext)
  • cv::Subdiv2D::PREV_AROUND_LEFT, 环绕左侧面块的上一条边 (reversed eOnext)
  • cv::Subdiv2D::PREV_AROUND_RIGHT, 环绕右侧面块的上一条边(reversed eDnext)

(译者注:“下一条边”的隐含的访问顺序,绕点访问时是逆时针,绕多边形时是逆时针环行)

不用担心是绕Delaunay三角形的边,还是Voronoi图的多边形的边,因为输入edge的序号已经包含这个信息,后面可详细了解边的编号方法。

也可选择方便的调用方式,nextEdge()

// equivalent to getEdge(edge, cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_ORG)
//
int cv:Subdiv2D::nextEdge(
int edge
) const;

它等价于getEdge()函数按cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_ORG方式调用。当我们想访问环绕一个点的所有边时,这个函数很方便。对一些应用场景很有帮助,比如,从虚拟外接三角形内的某个顶点出发,寻找凸包。

旋转边

假设你手头上有一个边的序号。无论你是从其他函数中得到的,还是想轻率地从某个特定的序号开始遍历整个图,调用下面的函数你可以从Delaunay剖分的边上跳到对应的Voronoi剖分的边上。

int cv::Subdiv2D::rotateEdge(
int edge,
int rotate // get other edges in the same quad-edge: modulo 4 operation
) const;

参数rotate指定了你想旋转的方式,可以选择下列参数指定下一条边,参考下图更易理解:

  • 0, 输入的边 (e 下图e 即是)
  • 1, 旋转后的边 (eRot)
  • 2, 反向边 (反向 e)
  • 3, 反向旋转后的边 (反向 eRot)

《Learning OpenCV 3》Delaunay三角剖分和Voronoi图讲解_第4张图片

(译者注:从图中可以看出,旋转边默认是绕起始点逆时针)

关于顶点和边更多的知识

顶点及其命名顺序

由于Delaunay剖分初始化的方式,下面的事实总是成立的:

  1. 0号顶点是空顶点,没有坐标。
  2. 接下来,1、2、3号顶点是给定外围矩形外侧的“虚拟”顶点,每个都被设置成距离点集很远的位置。
    (译者注:理解为一个虚无缥缈的位置,不确定的位置,我将这3个点看作外接三角形的3个顶点,因为三角形也是虚构的。)
  3. 接下来的点都是点集上的点,提供给Subdiv2D对象。

边及其命名顺序

Subdiv2D对象里的每条边都被赋予一个整数值,这些整数被4个一组使用,每4个号码代表的边是相关联的:

  • edge % 4 == 0
    一条 Delaunay 边

  • edge % 4 == 1
    垂直于初始边的Voronoi 边

  • edge % 4 == 2
    和初始边方向相反

  • edge % 4 == 3
    上面Voronoi 边的反向

虚拟边和空边

0号边是空边,不指向任何地方(或者,更准确地说,它的两个端点是0号顶点-也是空的)。

1、2、3号边总是连接虚拟顶点的虚拟Delaunay边。指未固定的虚拟边,因为它的两个顶点都是虚拟的。(译者注:因为边的两头都是虚无缥缈,边当然也是了,而且没有一端是实打实的点。)

空边的起点和终点都是(0,0)。

旋转空边的结果,会得到另一个空边。从空点开始的“第一条边”也是一个空边,随后用nextEdge() 产生的边也一样。

从任何虚拟顶点访问的“第一条边”总是连接到另一个虚拟顶点。(译者注:“第一条边”怎么理解?)

确定外接三角形

既然,当我们对一个点集创建Delaunay剖分时,前3个点总是构建出一个外接三角形(不包括0号点)。我们可以通过下面的方式访问这三个顶点:

Point2f outer_vtx[3];
for( int i = 0; i < 3; i++ ) {
outer_vtx[i] = subdiv.getVertex(i+1);
}

我们也能得到外接三角形的3条边:

int outer_edges[3];
outer_edges[0] = 1*4;
outer_edges[1] = subdiv.getEdge(outer_edges[0], Subdiv2D::NEXT_AROUND_LEFT);
outer_edges[2] = subdiv.getEdge(outer_edges[1], Subdiv2D::NEXT_AROUND_LEFT);

(译者注:这么说来,4号边总是外接三角形的一条边)

确定凸包,在凸包上环绕访问

回忆一下,根据构造函数Subdiv2D(rect),我们用一个外接矩形初始化了Delaunay剖分。基于此,下面的叙述成立:

  • 如果有这样一条边,它的起点和终点都在矩形外侧,然后这条边在剖分的虚构外接三角形内。这样的边,我们叫做未固定的虚拟边。

  • 如果有这样一条边,它的两个端点分布在矩形内外两侧,然后内侧的点在点集的凸包上。凸包上的每个点都和虚构的外围三角形的两个顶点相连,而且这两条边的序号是相邻的。我们把这样一端连在矩形内,一端连在矩形外虚拟点上的边,叫做固定的虚拟边。

基于以上事实,我们可以快速找到凸包。例如:从顶点1、2、3开始,我们知道这3个点是虚构外接三角形上的3个虚拟顶点。我们可以使用nextEdge() 可以迅速产生所有的固定的虚拟边的集合(简单的拒绝未固定的虚拟边)。然后调用rotateEdge(),取反向边,然后再调用1次,或者2次nextEdge,就会落在凸包的边上。准确的讲,一条固定的虚拟边对应一条凸包的边,这些边的集合就是凸包。

《Learning OpenCV 3》Delaunay三角剖分和Voronoi图讲解_第5张图片

(译者注:
解决一些疑惑
1. nextEdge()可访问点四周的所有边,所以从1,2,3开始会得到全部的固定的虚拟边。
2. 通过边可以获得起点和终点的编号,通过边两端点的序号可以区分未固定的虚拟边、固定的虚拟边、未固定的虚拟边。
3. rotateEdge(2)将边的起点从虚构三角形顶点上转移到凸包的顶点上。
4. 调用1次或2次nextEdge()恰恰验证了凸包的顶点跟虚拟三角形有两条连线。

使用示例

我们可以使用locate()环绕Delaunay三角形的边逐步访问。在下面的例子中,写了一个函数实现给定一个点,在包含点的Delaunay三角形的每条边上做些什么事:

void locate_point(
cv::Subdiv2D& subdiv,
const cv::Point2f& fp,
...
) {
    int e;
    int e0 = 0;
    int vertex = 0;
    subdiv.locate( fp, e0, vertex );
    if( e0 > 0 ) {
        e = e0;
        do // Always 3 edges -- this is a triangulation, after all.
        {
        // [Insert your code here]
        //
        // Do something with e ...
        e = subdiv.getEdge( e, cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_LEFT );
        }
        while( e != e0 );
    }
}

给定一个点,我们也可以调用如下函数找到最近的点:

int Subdiv2D::findNearest(
cv::Point2f pt,
cv::Point2f* nearestPt
);

locate()不同,findNearest()会返回剖分中距离最近的顶点的整数ID。输入的点不必落在面块或三角形内。值得注意的是,这个函数不是const函数,因为当没有更新数据时它会计算Voronoi图。

类似的,我们可以环绕Voronoi面块访问,然后画出来它。

void draw_subdiv_facet(
cv::Mat& img,
cv::Subdiv2D& subdiv,
int edge
) {
    int t = edge;
    int i, count = 0;
    vector buf;
    // Count number of edges in facet
    do{
        count++;
        t = subdiv.getEdge( t, cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_LEFT );
    } while (t != edge );
    // Gather points
    //
    buf.resize(count);
    t = edge;
    for( i = 0; i < count; i++ ) {
        cv::Point2f pt;
        if( subdiv.edgeOrg(t, &pt) <= 0 )
            break;
        buf[i] = cv::Point(cvRound(pt.x), cvRound(pt.y));
        t = subdiv.getEdge( t, cv::Subdiv2D::NEXT_AROUND_LEFT );
    }
    // Around we go
    //
    if( i == count ){
        cv::Point2f pt;
        subdiv.edgeDst(subdiv.rotateEdge(edge, 1), &pt);
        fillConvexPoly(
        img, buf,
        cv::Scalar(rand()&255,rand()&255,rand()&255),
        8, 0
        );
    vector< vector > outline;
    outline.push_back(buf);
    polylines(img, outline, true, cv::Scalar(), 1, cv::LINE_AA, 0);
    draw_subdiv_point( img, pt, cv::Scalar(0,0,0) );
    }
}

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