与矩阵有关的四种子线性空间

符号：$P$——数域；
$P^{m\times n}$——$m\times n$矩阵的集合；
$P^n$——$n$元有序数组空间;
$r(A)$——$A$的秩.

一、 预备知识

设矩阵$A\in P^{m\times n}$, 矩阵$A$的秩为$r(A)=r.$ 设$x\in P^n,x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$为$n$维列

向量. $y\in P^m,y=(y_1,y_2,\cdots ,y_m{)}^T$为$m$维列向量.

1. 矩阵$A$的列向量组的线性组合的代数表示

将矩阵$A$按列分块，设其第$i$列为${\alpha }_i$, 则${\alpha }_i\in P^m,$ 换句话说，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是$m$维线性空间$P^m$中的向量组.

矩阵$A$乘以列向量$x$可以解释为矩阵$A$ 的列向量组的线性组合，即

$$Ax=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n.(1)$$

2. 矩阵$A$的行向量组的线性组合的代数表示

若将矩阵$A$按行分块，设其第$i$行为${\beta }_i^T$, 则${\beta }_i^T\in P^n,$ 换句话说，${\beta }_1^T,{\beta }_2^T,\cdots ,{\beta }_m^T$是$n$维线性空间$P^n$中的向量组.

相应地，行向量$y^T$左乘以矩阵$A$可以解释为矩阵$A$的行向量组的线性组合, 即

$$y^{T}A=y_1{\beta }_1^T+y_2{\beta }_2^T+\cdots +y_m{\beta }_m^T.(2)$$

二、矩阵$A$的列空间

观察公式（1）, 若让向量$x$"跑遍"$n$维线性空间$P^n$, 则一切线性组合$Ax$就构成$P^m$的一个子空间$C(A)$（注意：是$P^m$的子空间，因为$Ax\in P^m$）,称为矩阵$A$的列空间. 这个空间用集合可以表示为

$$C(A)=\{Ax|\forall x\in P^n\}.$$

显然，这个列空间$C(A)$是由$A$的列向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$生成的$P^m$的一个子空间，即是说，$C(A)=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n).$

这样，列空间$C(A)$的基与维数的问题就解决了.

列空间$C(A)$的基就是向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的极大线性无关组，而维数$\dim C(A)=r(A)=r.$

三、矩阵$A$的零空间

矩阵$A$的零空间, 即齐次方程组$Ax=0$的解空间，记为$N(A).$
$$N(A)=\{x|Ax=0,x\in P^n\}.$$

矩阵$A$的零空间的基为齐次方程组$Ax=0$的基础解系；$\dim N(A)=n-r(A)=n-r.$

四、矩阵$A$的行空间

将矩阵$A$按行分块，设

$$A=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1^T\\ {\beta }_2^T\\ ⋮\\ {\beta }_m^T\end{array}\right).$$

相应于列空间$C(A)$, $A$的一切行向量的线性组合构成$P^n$的一个子空间，称为矩阵$A$的行空间，记为$R(A).$用集合表示为，

$$R(A)=\{y^{T}A|\forall y\in P^m\}.$$

同样，行空间可以解释为生成子空间：$R(A)=L({\beta }_1^T,{\beta }_2^T,\cdots ,{\beta }_m^T).$

由于行向量的转置是列向量，$(y^{T}A{)}^T=A^{T}y$，而且同维行向量和列向量并无本质区别，所以，矩阵$A$的行空间与其转置矩阵的列空间可以看成是$P^n$的同一个子空间，即$R(A)=C(A^T).$

五、矩阵$A$的左零空间

矩阵$A$的左零空间指的是$\{y|y^{T}A=0\}$,同上一节中的解释，矩阵$A$的左零空间等于$A^T$的零空间，故$A$的左零空间可以记为$N(A^T).$

由第三节中的结论可以得到下面的结果：

矩阵$A$的左零空间的基为齐次方程组$A^{T}y=0$的基础解系；$\dim N(A^T)=n-r(A)=m-r.$

六、关于矩阵的四种子空间的维数的重要结论

定理 （1）$\dim C(A)+\dim N(A)=n;$
(2) $\dim R(A)+\dim N(A^T)=m.$

七、线性变换的值域空间和核空间与矩阵的列空间和零空间的关系

1. 值域空间的基于维数

定理 设$\mathcal{A}$是$n$维线性空间$V$的线性变换，${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$是$V$的一组基，在这组基下$\mathcal{A}$的矩阵为$A$，则
（1） $\mathcal{A}V=L(\mathcal{A}{\epsilon }_1,\mathcal{A}{\epsilon }_2,\cdots ,\mathcal{A}{\epsilon }_n);$
(2) $\dim \mathcal{A}V=r(A).$

这个定理线性变换$\mathcal{A}$的值域空间与其矩阵$A$的列空间实际上是同构的，于是已知线性变换$\mathcal{A}$在某组基下的矩阵$A$时，可以通过求$C(A)$的一组基和维数来求得$\mathcal{A}V$的基和维数，这就转化为求$A$的极大无关组和秩。

下面举一个例子说明。

例1. 设${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$是线性空间$V$的一组基，已知线性变换$\sigma$在此基下的矩阵为
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ -1& 2& 1& 3\\ 1& 2& 5& 5\\ 2& -2& 1& -2\end{array}\right).$$
求$\sigma (V)$的一组基与维数，并把它扩充为$V$的一组基.

解： 因为$\sigma (V)=L(\sigma {\epsilon }_1,\sigma {\epsilon }_2,\sigma {\epsilon }_3,\sigma {\epsilon }_4)$, 而$\sigma {\epsilon }_1,\sigma {\epsilon }_2,\sigma {\epsilon }_3,\sigma {\epsilon }_4$的坐标为$A$的列向量组，所以可以通过求$A$的列向量组的极大无关组来求得$\sigma {\epsilon }_1,\sigma {\epsilon }_2,\sigma {\epsilon }_3,\sigma {\epsilon }_4$的极大无关组的坐标，下面将$A$化为行阶梯形：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ -1& 2& 1& 3\\ 1& 2& 5& 5\\ 2& -2& 1& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 2& 3& 4\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

由此可知，$A$的第一、二列为其极大无关组，所以，

$$\sigma {\epsilon }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2+{\epsilon }_3+2{\epsilon }_4,\sigma {\epsilon }_2=2{\epsilon }_2+2{\epsilon }_3-2{\epsilon }_4$$

为$\sigma V$的一组基，$\dim \sigma (V)=2$。

为了把$\sigma V$的一组基扩充为$V$的一组基，添加向量${\epsilon }_3,{\epsilon }_4,$

$$(\sigma {\epsilon }_1,\sigma {\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4)=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 2& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0\\ 2& -2& 0& 1\end{array}\right)$$
$$=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4)D_1.$$

因为$\det D_1̸=0,$ 所以，$\sigma {\epsilon }_1,\sigma {\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$是$V$的一组基.

2.核空间的基与维数
设$\mathcal{A}$是$n$维线性空间$V$的线性变换，${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$是$V$的一组基，在这组基下$\mathcal{A}$的矩阵为$A$，设$\xi \in Ker\mathcal{A}$, 则$\mathcal{A}\xi =0$, 设$\xi$在基${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$下的坐标为$x$, 那么，$Ax=0$.

这说明线性变换$\mathcal{A}$的核空间与矩阵$A$的零空间是同构的。于是，要求核空间的一组基和维数，可以转化为求齐次方程组$Ax=0$的基础解系及其所含向量的个数。由齐次方程组解的理论知，$\dim Ker\mathcal{A}=n-r(A).$

下面举一个例子说明核空间的基和维数的求法：

例2. 设${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$是线性空间$V$的一组基，已知线性变换$\sigma$在此基下的矩阵为
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ -1& 2& 1& 3\\ 1& 2& 5& 5\\ 2& -2& 1& -2\end{array}\right).$$
求$Ker\sigma$的一组基与维数，并把它扩充为$V$的一组基.

解： 设$\xi \in ker\sigma$, 它在基${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4$下的坐标为$(x_1,x_2,x_3,x_4)$, 解齐次方程组$Ax=0$,

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ -1& 2& 1& 3\\ 1& 2& 5& 5\\ 2& -2& 1& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& -\frac{3}{2}& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
得到它的一个基础解系为：

$$(-2,\frac{3}{2},1,0),(-1,-2,0,1).$$

令${\eta }_1=-2{\epsilon }_1+\frac{3}{2}{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,{\eta }_2=-{\epsilon }_1-2{\epsilon }_2+{\epsilon }_4,$则${\eta }_1,{\eta }_2$为$Ker\sigma$的一组基，$\dim Ker\sigma =2$。

添加${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,$ 由于

$$({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\eta }_1,{\eta }_2)=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& -1\\ 0& 1& -\frac{3}{2}& -2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
$$=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4)D_2,$$

因为$\det D_2̸=0$, 所以${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\eta }_1,{\eta }_2$是$V$的一组基.

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