camera标定

相机标定是图像处理的基础，虽然相机使用的是小孔成像模型，但是由于小孔的透光非常有限，所以需要使用透镜聚焦足够多的光线。在使用的过程中，需要知道相机的焦距、成像中心以及倾斜因子（matlab的模型有考虑，实际中这个因子很小，也可以不考虑）。为了增加光照使用了透镜，而使用透镜的代价是会产生畸变，现在市面上买到的相机，都存在着或多或少的畸变。畸变的种类比较多，这里介绍常见的两种：径向畸变、切向畸变。相机标定就是求解相机的内参数以及畸变参数的过程。

畸变种类

（1）径向畸变（参考自《学习opencv》412页）
摄像头的透镜在传感器的边缘产生显著的畸变，如下图所示。对于径向畸变，光学中心的畸变为-，随着向边缘移动，畸变会越来越严重。由于畸变比较小，所以可以用泰勒级数的低阶项来近似。

（2）切向畸变。
另外一种需要考虑的相机畸变是切向畸变，切向畸变的主要原因是透镜本身和图像平面不平行，如下左图所示。切向畸变导致的结果是在成像平面上所成的像为下右图所示。

相机的标定

相机的标定主要有两种：传统的摄像头标定方法和摄像头自标定方法，典型的有：（1）Tsai（传统的标定方法）；（2）张正友（介于传统和自标定之间）。张正友标定方法由于简单、效果好而得到广泛使用。这里只介绍张正友标定方法。

• 张正友标定法的标定步骤
  1、打印一张模板并贴在一个平面上；
  2、从不同角度拍摄若干张模板图像；
  3、检测出图像中的特征点；
  4、求出摄像机的外参数（单应性矩阵）和内参数（最大似然估计） ；
  5、求出畸变系数；
  6、优化求精。

• 理论基础
  现在来介绍张正友标定方法中的理论知识，以飨读者。张正友标定方法的主要思想是、
  1、相机内参矩阵
  

  q=MQ

其中，

q=⎡⎣⎢uvw⎤⎦⎥,M=⎡⎣⎢fx00sfy0cxcy1⎤⎦⎥,Q=⎡⎣⎢XYZ⎤⎦⎥

q 的坐标系是默认的OpenCV的像素坐标系， Q 的坐标系是标定板坐标系，Z轴为0，原点在标定板的某个内角点上（标定板上角点的坐标均为[*,*,0]的形式），在Open CV 3.0中使用的是（ [i∗Squres_Size，j∗Square_Size，0] 的形式）。其中 fx 和 fy 表示相机 x 轴和 y 轴的焦距， s 表示成像平面 x 轴和 y 轴的不正交性（OpenCV模型中把该项置为0，Matlab考虑了该项）。
2、基础公式
对于不同位置的棋盘格到相机的成像，可以使用下面的公式进行表示：

sm~=A[R|t]M~

其中， [R|t] 表示棋盘格坐标系相对于相机坐标系的位姿。把矩阵 R 和 M~ 写开，如下式所示：

m~=⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥，M~=⎡⎣⎢⎢⎢XY01⎤⎦⎥⎥⎥，R=[r1r2r3]，M~=⎡⎣⎢⎢⎢XY01⎤⎦⎥⎥⎥

进行化简得到：

s⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=A[r1r2t]⎡⎣⎢XY1⎤⎦⎥

其中 [uv1] 是已知量， [XY1] 也是已知量， A 和 [r1r2t] 是未知量。
其中 H=A[r1r2t] 又叫做单应性矩阵，可以使用下面的 3 中所述的方法求解。
3、单应矩阵求解：
这里使用的方法基于最大似然准则：假设提取的 m 存在均值为0，噪声协方差矩阵为的高斯白噪声。
则优化目标为

∑i(mi−m^i)TΛ−1mi(mi−m^i)

其中

mi=1h¯¯¯T3Mi⎡⎣h¯¯¯T1Mih¯¯¯T2Mi⎤⎦

，其中 h¯¯¯i 是矩阵 H 的第 i 列，并且假设 Λmi=σ2I （ mi 、 Mi 已知）
求解上面的非线性优化问题可以使用LM算法。
（1）初始值求解
令 x=[h¯¯¯1，h¯¯¯2，h¯¯¯3] ，则 sm~=HM~ 可以重写为

[M~T0T0TM~T−uM~T−vM~T]x=0

对于 n 个点，对应 n 个方程， Lx=0 ，其中 x 是 1×9 的， L 是 2n×9 的。 x 的解对应于 L 的最小奇异值的右奇异向量。
Q：为什么用svd求了，还需要用最大似然方法来优化？svd求的 H 是有误差的，需要用优化来精确求解。
4、求解相机内参
（1）利用约束条件求解内参矩阵A
在公式中，由于 r1 和 r2 是单位向量且是正交的，所以存在下面的关系：

hT1A−TA−1h2=0hT1A−TA−1h1=hT2A−TA−1h2

上面的公式写成方程组的形式如下所示：

[vT12(v11−v22)T]b=0

上面的等式是一个最小二乘问题，可以使用SVD求解.由于A有5个参数： α，β，u0，v0，γ ，一个单应性矩阵对应两个约束，所以求解A需要3个单应性矩阵，也就是最小需要3幅图像（超定方程）。当然，
也可以使用两个单应性矩阵，此时需要令 γ=0 。算出了b之后，可以用下面的公式求 A 。

v0=(B12B13−B11B23)/(B11B22−B212)λ=B33−[B213+v0(B12B13−B11B23)]/B11α=λ/B11−−−−−√β=λB11/(B11B12−B212)−−−−−−−−−−−−−−−−−√γ=−B12α2β/λu0=γv0/β−B13α2/λ

5、求解相机外参
在上面求解了相机的内参之后，可以求出棋盘格的位姿，公式如下：

r1=λA−1h1r2=λA−1h2r3=r1×h2t=λA−1h3

在OpenCV中，上面的公式是用来求解优化参数的初始值的，最终的结果是使用优化的方法得到的。
由于存在误差，还是需要迭代求解以提高精度（问题描述如下）：
给定棋盘格的 n 个图像和 m 个角点，并假设图像点被独立同分布的噪声影响。
似然函数如下所示：

∑i=1n∑j=1m=∥mij−m(A,Ri,ti,Mj)∥2

其中旋转矩阵 R 用向量 r 表示（罗巨格公式）
6、相机的畸变参数求解
上面的讨论中一直没有引入相机畸变的问题，这里引入相机的畸变。
记 (u,v) 为理想的像素坐标， (u˘,v˘) 为实际观测得到的像素坐标（受到畸变）。同样的，有归一化的相机坐标系 (x，y) 和 (x˘,y˘)
对于径向畸变（这是张正友上的模型，泰勒展开）：

x˘=x+x[K1(x2+y2)+k2(x2+y2)2]y˘=y+y[K1(x2+y2)+k2(x2+y2)2]

用像素坐标表示则为：

u˘=u+(u−u0)[K1(x2+y2)+k2(x2+y2)2]v˘=v+(v−v0)[K1(x2+y2)+k2(x2+y2)2]

写成如下形式：

[(u−u0)(x2+y2)(v−v0)(x2+y2)(u−u0)(x2+y2)2(v−v0)(x2+y2)][k1k2]=[u˘−uv˘−v]

给定 n 个图像中的 m 个点，可以得到 2mn 个方程，记为 Dk=d 。
则 k=(DTD)−1DTd 。
最小二乘方法求解：

∑i=1n∑j=1m∥mij−m˘(A,k1,k2,Ri,ti,Mj)∥2

如果求解了畸变参数 k1 和 k2 ，则可以求解出没有畸变的坐标，从而使用上面的方法求解位姿和内参。
畸变参数 k1 和 k2 初始化可以简单的设为0，也可以使用后续的估计方法。
OpenCV的模型（《学习OpenCV》，这是Brown和Fryer的工作）还包括了切向畸变，并且镜像畸变有三项。因此，opencv中一共有五个参数 [k1,k2,p1,p2,k3]

• 。

OpenCV的标定步骤

1、初始化参数求解；
a、求解单应性矩阵；
b、根据理论的第4步求解相机内参的初始值；
c、根据理论的第5步求解相机外参的初始值；
d、畸变参数设置为0。
2、迭代求解总体最小二乘问题，也就是上面6所示的最小二乘问题。

后面会接着介绍最小二乘中的数学相关知识