题目大意
N头牛,每头牛的初值为Ci,每次执行如下算法: 每头牛计算其他 N-1 头牛的和,并 % 98,765,431 替换掉原值。执行 T 次后,每头牛的值为多少。(1<=N<=50,000)
思路与代码段
记sum为开始所有牛的总和,c[t][i]为处理t次后的Ci,s[t]为处理t次后所有牛的总和。
有如下推导过程:
t=0时,s[0]=sum=(n-1)^0*sum,
c[0][i]=Ci,
t=1时,s[1]=(n-1)*sum,
c[1][i]=s[0]-a[0][i]=(n-1)^0*sum-Ci,
t=2时,s[1]=(n-1)^2*sum,
c[2][i]=s[1]-a[1][i]=(n-1)^1sum-(n-1)^0sum+Ci,
………
可得到规律:
c[t][i]=((n-1)^(t-1)-(n-1)^(t-2)+(n-1)^(t-3)-…-(-1)^t * (n-1)^0) * sum+(-1)^t*Ci
可知本题重点在求等比数列的和,首先,必然要用到快速幂。
long long fast_e(long long x, long long n)
{
long long ans = 1;
while(n) {
if(n % 2)
ans = ans * x % MOD;
n >>= 1;
x = x * x % MOD;
}
return ans;
}
等比数列求和公式Sn=(A1-An*q)/(1-q)中有除法,并不能应用到同余中
所以要将其转成乘法,设存在T式使得,(1-q)*T%MOD=1,
这时候我们可以用到费马小定理
a^(p-1)%p=1
由1-q=n,所以T=n^(MOD-2)
long long equalratio_Sum(int n, int t)
{
long long a = fast_e(n-1, t);
long long b = fast_e(n, MOD - 2);
if(t & 1)
return ((1 + a) * b) % MOD;
else
return ((-1 + a) * b) % MOD;
}
后面的处理不再赘述,answer就是(equalratio_Sum(n,t)*sum+MOD+(-1)^t *c[i])%MOD(为何此式要多加一个MOD,请读者自己考虑)。(by Datow)