01背包的第K优解

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思路：

 

求第K优解

对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为 v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。 显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。

 

为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其 它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么， 对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。

 

用个形象的比喻吧：如果我想知道学年最高分，那么，我只要知道每个班级的最高分，然后统计一遍就可以了。如果我想知道学年前十呢？我必须要知道每个班的前十名。大家在心里模拟一下，对，这就是本题核心的算法。两种决策，就可以看作这个学年只有两个班。

 

根据以上思路，将原来的dp[i]扩展成dp[i][j]表示背包容量用了i的第j优解。

#include 
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#include
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#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int val[110],cost[110],dp[1010][35];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,v,k;
        scanf("%d%d%d",&n,&v,&k);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&val[i]);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&cost[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=v; j>=cost[i]; j--)
            {
                int A[35],B[35];
                for(int kk=1; kk<=k; kk++)
                {
                    A[kk]=dp[j-cost[i]][kk]+val[i];
                    B[kk]=dp[j][kk];
                }
                int a=1,b=1,c=1;
                A[k+1]=-1,B[k+1]=-1;
                while(c<=k&&(A[a]!=-1||B[b]!=-1))
                {
                    if(A[a]>B[b])
                        dp[j][c]=A[a++];
                    else
                        dp[j][c]=B[b++];
                    if(dp[j][c]!=dp[j][c-1])
                        c++;
                }
            }
        printf("%d\n",dp[v][k]);
    }
    return 0;
}