LM算法

LM算法，全称为Levenberg-Marquard，它可用于解决非线性最小二乘问题，多用于曲线拟合等场合。

LM算法的实现并不算难，它的关键是用模型函数 f 对待估参数向量p在其领域内做线性近似，忽略掉二阶以上的导数项，从而转化为线性最小二乘问题，它具有收敛速度快等优点。LM算法属于一种“信赖域法”——所谓的信赖域法，此处稍微解释一下：在最优化算法中，都是要求一个函数的极小值，每一步迭代中，都要求目标函数值是下降的，而信赖域法，顾名思义，就是从初始点开始，先假设一个可以信赖的最大位移s，然后在以当前点为中心，以s为半径的区域内，通过寻找目标函数的一个近似函数（二次的）的最优点，来求解得到真正的位移。在得到了位移之后，再计算目标函数值，如果其使目标函数值的下降满足了一定条件，那么就说明这个位移是可靠的，则继续按此规则迭代计算下去；如果其不能使目标函数值的下降满足一定的条件，则应减小信赖域的范围，再重新求解。

事实上，你从所有可以找到的资料里看到的LM算法的说明，都可以找到类似于“如果目标函数值增大，则调整某系数再继续求解；如果目标函数值减小，则调整某系数再继续求解”的迭代过程，这种过程与上面所说的信赖域法是非常相似的，所以说LM算法是一种信赖域法。

LM算法需要对每一个待估参数求偏导，所以，如果你的拟合函数 f 非常复杂，或者待估参数相当地多，那么可能不适合使用LM算法，而可以选择Powell算法——Powell算法不需要求导。

至于这个求导过程是如何实现的，我还不能给出建议，我使用过的方法是拿到函数的方程，然后手工计算出其偏导数方程，进而在函数中直接使用，这样做是最直接，求导误差也最小的方式。不过，在你不知道函数的形式之前，你当然就不能这样做了——例如，你提供给了用户在界面上输入数学函数式的机会，然后在程序中解析其输入的函数，再做后面的处理。在这种情况下，我猜是需要使用数值求导算法的，但我没有亲自试验过这样做的效率，因为一些优秀的求导算法——例如Ridders算法——在一次求导数值过程中，需要计算的函数值次数也会达到5次以上。这样的话，它当然要比手工求出导函数（只需计算一次，就可以得到导数值）效率要差得多了。不过，我个人估计（没有任何依据的，只是猜的）：依赖于LM算法的高效，就算添加了一个数值求导的“拖油瓶”，整个最优化过程下来，它仍然会优于Powell等方法。对这个猜想，我会以实际代码来试验。

文章来源：http://www.codelast.com/

LM求解过程中需要用到求解线性方程组的算法，一般我们使用高斯约当消元法，因为它非常稳定——虽然它不是最快最好的算法。

对于急需自己编程用LM算法解决一些问题的朋友，如果你的数学几乎都忘了，那么你还是多请教一下自己的朋友吧，要不然连函数的偏导数都不记得怎么求了，是写不出代码的。

网上有很多LM算法的示例程序，但是如果你不理解这个算法的过程，要想看懂它们，很难。而且要对自己定义的函数使用LM算法，更加应该明白该算法的原理。

有一篇很不错的文章，解释了如何实现LM算法：http://www.ics.forth.gr/~lourakis/levmar/levmar.pdf

用Google搜索“Levenberg-Marquardt”，会有很多资料可参考。有一些现成的库也可以使用，不过，到你弄明白怎么用的时候，你都能够自己写出完整的代码了。当初我对LM也是很困惑，一直没弄清它的原理，网上的示例我怎么都用不对，后来一怒之下不再看网上的sample code，重新回到理论上，后来终于弄明白了，于是自己写出了完整的LM实现代码。

需要说明的是，这是非线性无约束的问题，如果待估参数是有约束的（例如参数在某一范围内变动），要想用在LM算法中，那就是约束最优化问题了，这是一个big topic，以我目前的知识储备，尚不能解释好，请大家另寻资料吧。

最后，不得不说的就是，LM算法并非许多人刚接触时想像的那般难，当你了解了过程之后，你就会觉得它很有意思。希望所有在学习它的朋友们都能成功。