内积，卷积，傅里叶变换

1. 向量的内积
ab=ab cos(θ)

    向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦；
    向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，
    也就是同方向的积特别的。
    如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量，
    那么，两个向量的内积就是向量b在此坐标轴上的坐标值。
    这个结论非常重要，这是傅立叶分析的理论基础。
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    其他几何意义：从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。
    当内积值为正值时，两个向量大致指向相同的方向（方向夹角小于90度）；
    当内积值为负值时，两个向量大致指向相反的方向（方向角大于90度）；
    当内积值为0时，两个向量互相垂直

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正交基
理解了前面的内积，下面我们来了解一下正交基：

一个简单的向量被分解成了3个向量的线性和。特别的，在这个例子中，注意到，分解开的三个向量 两两之间互相的内积等于零，于是这三个向量就是一组简单的 正交基。内积是一个向量在另一个向量上的投影，如果是内积为0则表示两个向量是垂直了，所以可以将一组正交基理解为里面的每个向量相互垂直. 比如：

一般来说，一个向量都可以表达成如下的形式：

其中v是一组正交基，如果每组正交基中的向量，其模的大小都是1 ，这样的情况称为标准正交基。

接下来就是求解系数，

比如我们想求b的值是多少，回忆前面说的系数就是在基向量上的投影(也就是分量)和基向量模的比值，具体到前面的例子，因为基向量的模都是1，于是求系数就变得非常简单，就是求 内积而已：

对第二个表达式也可以做类似的事情：

总结如下：如果B是某个实线性空间中的一组正交基，那么对该空间中的任一x，有：

也就是说，基向量前的系数是信号和基向量的内积比基向量和自身的内积(也就是模的平方)。特别地，如果正交基中的向量都是单位向量，也就是|b|=1，那么每个正交基向量前的系数就是x和b的内积，即：

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2. 卷积
卷积的定义
我们称(f*g)(n)为f,g的卷积，其连续的定义为：

其离散的定义为：

reference:

1. 从线性代数的角度理解傅里叶变换