P/NP问题

1 什么是P问题？

  这里的P代表Polynomial。P问题就是可以有一个确定型图灵机在多项式时间内解决的问题。即目前那些存在O(n), O(n^k), O(nlogn)等多项式时间复杂度解法的问题。比如排序问题、最小生成树、单源最短路径。直观的讲，我们将P问题视为可以较快解决的问题。

2 什么是NP问题？

那些可以在非确定型图灵机上在多项式时间内解决的问题。（在确定型图灵机（我们在使用的计算机吗?）上可以在多项式时间内验证解是否正确，但不能在多项式时间内找出最优解的问题）。非确定型图灵机：可以理解为无限个确定型图灵机的集合。应该是说的一种强大的目前还不存在的，也与目前的计算机无法比较的一种计算机吧。也许它具备跳跃思维、能联想能学习能推理……

NP是目前为止还未找到多项式解法的问题。对于这些问题，我们目前也不知道是否存在多项式的解法。所以叫非确定多项式问题。

  NP代表“Non-deterministic（非确定性）Polynomial（多项式）”而不是代表“Non-Polynomial（非多项式）。

典型的NP问题是旅行商问题(TSP)。

 

P与NP问题的关系？

NP问题如果找到了多项式解法就是P问题了。NP问题是目前为止我们还未找到多项式解法的问题。我们也不能证明它一定存在或不存在多项式解法。调查显示有的人持肯定态度，认为NP问题一定存在多项式解法，即P=NP。有的坚信NP问题不存在多项式解法。当然也有的人持不确定态度。

 

3 什么是NPC问题？

NPC问题是NP中目前看起来最不可能存在多项式解法的问题，是NP中“最难”的问题，也就是说它们是最不可能属于P类的。一中观点是NP问题包含P问题和NPC问题。也有观点认为NP=NPC。

 

因为任何NP中的问题可以在多项式时间内变换成为任何特定NP完全问题的一个特例，所以若任何一个NP完全的问题在P内，则可以推出P = NP。不幸的是，很多重要的问题被证明为NP完全，但没有一个有已知快速的算法。

迄今为止，人们已经发现了成千上万的NP-complete 问题，它们都具有容易被检查的性质，包括前面介绍的推销员旅行问题。当然更重要的是，它们是否也容易被求解，这就是著名的 P vs NP 的问题。

 

4 什么是NPH问题？

比NPC还难的题。NPH类：若问题A不属于NP类，已知某一NPC问题可在多项式时间之内转化为问题A，则称A为NP难题。例如，“TSP”是NPH问题。

 

5 NP问题意味什么?

面对一个问题，如果较劲脑子也没有思路，那么它也许是个NP问题。你可以转而证明它是个NP问题。也意味者要找到一个有效的解法是不可能的，至少也是相当困难。明智的做法是寻求一个找到有效解的近似算法。

 

6 如何证明一个问题是NP问题

通常证明一个问题 A 是 NP-complete 需要两步，第一先证明 A 是 NP 的，即满足容易被检查这个性质; 第二步是构造一个从某个已知的 NP-complete 问题 B 到 A 的多项式变换，使得如果 B 能够被容易地求解，A 也能被容易地解决。这样一来，我们至少需要知道一个 NP-complete 问题。

 

7 新千年的七大难题之一：

P=NP？就是说，是否能找到一个多项式解法去解决TSP、包装、舞会等问题。找到这样的解法或证明不存在这样的解法、或证明存在这样的解法。