【牛客多校第一场】A - Monotonic Matrix

一、题意概述

问你有多少个满足条件的 n⋅m (1≤n,m≤103) n · m   ( 1 ≤ n , m ≤ 10 3 ) 的矩阵 A A ，满足矩阵每个元素 Ai,j∈{0,1,2} A i , j ∈ { 0 , 1 , 2 } 并且 Ai,j≤Ai+1,j A i , j ≤ A i + 1 , j 而且 Ai,j≤Ai,j+1 A i , j ≤ A i , j + 1 ，答案取模 109+7 10 9 + 7 。

二、解题思路

考虑 01 01 和 12 12 的分界线，用 (n,0) ( n , 0 ) 到 (0,m) ( 0 , m ) 的两条不相交（可重合）路径，平移其中一条变成 (n−1,−1) ( n − 1 , − 1 ) 到 (−1,m−1) ( − 1 , m − 1 ) 变成起点 (n,0) ( n , 0 ) 和 (n−1,−1) ( n − 1 , − 1 ) ，终点 (0,m) ( 0 , m ) 和 (−1,m−1) ( − 1 , m − 1 ) 的严格不相交路径，套 Lindstrom-Gessel-Viennot lemma 定理。

答案就是 (Cnn+m)2−Cm−1n+m⋅Cn−1n+m ( C n + m n ) 2 − C n + m m − 1 · C n + m n − 1 ！

三、解题代码

#include 
const int MOD = 1e9 + 7;
#include 
using namespace std;
const int N = 1005;
int dp[N][N];

void update(int &x, int a) {
    x += a;
    if (x >= MOD) x -= MOD;
}

int sqr(int x) {
    return 1LL * x * x % MOD;
}

int main() {
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 0; i < N; ++ i) {
        for (int j = 0; j < N; ++ j) {
            if (i) update(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
            if (j) update(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
        printf("%d\n", static_cast<int>((sqr(dp[n][m]) + MOD - 1LL * dp[n - 1][m + 1] * dp[n + 1][m - 1] % MOD) % MOD));
    }
}