bzoj4001: [TJOI2015]概率论（生成函数）

传送门
生成函数好题。
题意简述：求$n$个点的树的叶子数期望值。

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思路：
考虑$f_n$表示$n$个节点的树的数量。
所以有递推式$f_0=1,f_n={\sum }_{i=0}^{n-1}{f}_i{f}_{n-1-i}(n>0)$
正是一个卷积的形式。
那么$f_n$的生成函数$F(x)=x{F}^2(x)+1$ 注意要填上$f_0$
同理，考虑$g_n$表示$n$个节点的树的叶子数总数。
有递推式$g_0=0,g_1=1,g_n=2{\sum }_{i=0}^{n-1}{f}_i{g}_{n-i-1}(n>1)$
所以$g_n$的生成函数$G(x)=2xF(x)G(x)+x$ 注意要填上$g_1$
然后$F(x)=x{F}^2(x)+1$
<=>$x{F}^2(x)-F(x)+1=0$
<=>$F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ 不取$\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}$是因为它不能向0收敛
$G(x)=\frac{x}{1-2xF(x)}=\frac{x}{\sqrt{1-4x}}$
然后我们对$xF(x)$求导：$(xF(x){)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}=\frac{G(x)}{x}$
而对于$xF(x)$第$n$项$f_n{x}^{n+1}$求导之后会变成$f_n(n+1)x^n$等式右边：$\frac{g_{n+1}{x}^{n+1}}{x}=g_{n+1}{x}^n$，那么$g_{n+1}=f_n(n+1)$
我们令答案的函数是$A(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{p}_n{x}^n$
那么$g_n=f_{n-1}n=p_n{f}_n=>p_n=\frac{f_{n-1}}{n{f}_n}$
仔细观察会发现$f_n$是卡特兰数，然后带入就做完了。
代码：

#include
using namespace std;
int main(){
    double n;
    return scanf("%lf",&n),printf("%.9lf",n*(n+1)/(4*n-2)),0;
}