【清华集训2014】Sum

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题目描述

求:
$$\sum _{d=1}^n(-1{)}^{\lfloor \sqrt{d\ast r\ast d}\rfloor }$$

Sol

就是:
$$\sum _{d=1}^n(-1{)}^{\lfloor d\sqrt{r}\rfloor }$$

如果$r$是完全平方数直接算,反之:

显然我们只需要知道有多少个$\lfloor d\sqrt{r}\rfloor$为奇数或偶数,那么想到这样化个式子:
$$\sum _{d=1}^n(1-2\ast (\lfloor d\sqrt{r}\rfloor mod2)$$
然后用除法拆掉 mod,化简,记 $x=\sqrt{r}$

$$n-2\ast \sum _{d=1}^n(\lfloor dx\rfloor -\lfloor \frac{dx}{2}\rfloor \ast 2)$$

于是只需要会求解:
$$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{A}{C}\ast i\rfloor$$
但是由于这里$A$是一个实数,直接做会有精度误差,为了类欧的需要,所以可以用带上$x$的项来表示:
$$\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{Ax+B}{C}\ast i\rfloor$$

这样就是个比较裸的类欧了,用矩形中的整点个数减去上三角的整点个数,由于$A$的后面有个$x$,我们不能够直接把 $A$ 模掉$C$,所以可以直接把多的 $A$ 减在$B$上,这样问题的规模就可以缩小了,因为 $n$ 会不断变小

设$m=\lfloor \frac{Ax+B}{C}\ast n\rfloor$,那么把该直线关于$y=x$对称($斜率之积为1$),分母有理化后,可得以下递推式:
$$F(n,A,B,C)=n\ast m-F(m,A\ast C,-C\ast B,A\ast A\ast r-B\ast B)$$
其中$F(n,A,B,C)$表示参数为这些值时的答案

#include
using namespace std;
typedef long double ldb;
typedef long long ll;
template<class T>inline void init(T&x){
	x=0;char ch=getchar();bool t=0;
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
	if(t) x=-x;return;
}

ldb R;
ll n,r;
ll gcd(ll a,ll b){return b? gcd(b,a%b):a;}
ll likegcd(ll n,ll A,ll B,ll C){
	if(!n) return 0;
	int d=gcd(A,gcd(B,C));A/=d,B/=d,C/=d;//除掉 gcd 可以防止爆 long long
	ldb K=((ldb)A*R+(ldb)B)/(ldb)C;ll k=(ll)(K);
	B-=k*C;//是把多的 A 减在 B 上面 !
	K=K-1.00*k;ll m=(ll)(K*n);
	ll ret=n*(n+1)/2*k;
	return ret+n*m-likegcd(m,A*C,-C*B,A*A*r-B*B);
}
int main()
{
	int T;init(T);
	while(T--){
		init(n);init(r);R=sqrt((ldb)r);ll g=(ll)(R);
		if(g*g==r) {if(r&1) printf("%d\n",(n&1)? (-1):0);else printf("%d\n",n);}
		else {
			ll ans=1ll*n-((likegcd(n,1,0,1)-(likegcd(n,1,0,2)<<1))<<1);
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
}