人工智能通识-科普-微积分定理

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微积分定理简单说就是，微分和积分互为逆运算。
人工智能通识-2019年3月专题汇总

曲线下的面积

为什么会有微积分这种折磨人的东西？这个要从求函数曲线下面的面积说起。

对于曲线函数，怎么求这条曲线下面[a,b]区间内的黄色面积？

如果这个面积是矩形、梯形或者三角形，圆形之类都有公式可以用。但有没有想过是否可以发明一种通用的方法，能够求任何曲线函数下面某区间面积？

积分定义

数学家黎曼想出了一个办法，看下图。

这就把原本求连续曲线下面积转换为求n个竖着的小长方形面积之和。当n趋近于无穷大的时候，这些小长方形面积之和就等于曲线下的区间面积。

如上图所示，假设为区间上任意一点，每个长方形的面积都可以表示为。

所以积分的定义就是：

即n趋近于无穷大的时候无数个长方形组成的曲线下的面积。

正式的写作：

这个大波浪号可以读作积分，或者英文Integrate。

提示，这里的z虽然图上标识为的中点，实际上可以是其中任意一点，即使是也没问题，因为在极限的情况下，这个长方形会无限的窄，也会无限小，所以取哪个都不要紧。

积分和微分

如果我们把黄色区域视为一个因变量,那么我们能否找到一个函数来表现随着增大而发生的变化呢？

如上图所示，我们假设就是找到的面积函数，它表示了黄色面积随着x增大而发生的变化：

x从1到2，面积增加3；
x从2到3，面积增加5；
x从3到4，面积增加3；
...

有了我们就可以用求出左侧图中黄色任意区间的面积。

微积分定理

微积分定理说，上图中，曲线的切线函数就是左侧的。

为什么呢？

回到开始的那张图：

这是用来说明微分的，微分就是求导数，导数就是曲线的斜率slope，图里面斜率就是∠bac的正切值，就是：

再对应到这个图，dy就是面积的变化。

所以我们有：

我们观察右图的斜率变化，对照左侧的曲线变化，也可以看到两者是一致相符合的。

你看到了吗？右侧斜率逐渐变大再逐渐变小，左侧y值也是逐渐变大然后逐渐变小。

微积分定理的数学证明

微积分互为逆运算，的导数函数就是。

对于函数在区间[a,b]上连续不断，如果

这里使用只是避免和混淆。

那么假设有一点,用和两个区间面积的差可以求到区间的面积，也可以从做减法求得，所以有：

另外，在区间上一定可以找到某点可以满足：

这是积分中值定理的直接解释和应用。

然后我们再结合微分斜率的定义，如下图，如果越来越小，最终将趋近于h。

根据上图有：

因为上面已经有:

所以有：

既然无限趋近于0，那就相当于是无限趋近于，即。