矩阵变换

矩阵乘法

矩阵rc表示一个r行c列的矩阵，两个矩阵A(r1c1)和B(r2c2)相乘有意义的条件是c1等于r2，相乘后得到一个(r1c2)的矩阵。
画个图来看一下：

矩阵乘法

需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律

矩阵乘法有什么用

用处肯定很多，但这里我们研究的是它在图形学里的平移，缩放等变换功能。在这里我们只研究二位空间里的情况，也就是平面图形。
首先思考一个问题：如何平移一个平面图形？
答案很简单，那就是把它的每个顶点都平移，整个图形自然就移动了。
那如何用矩阵来实现这个操作呢？
首先就是把它的顶点都存储进矩阵里，如下图

顶点矩阵

为什么要这么放？因为要用矩阵乘法啊，由前面的乘法特性可以看出，要想乘法有意义，需要矩阵1的列数等于矩阵2的行数，由于是二位空间图形，变换矩阵可以是一个2 * 2的矩阵，这样就能满足我们的需求。
等等，这样真的能满足需求么？根据乘法的算法，结果中任一单元都是变换矩阵某值和x坐标的乘积加上变换矩阵某值和y坐标的乘积，这里先不考虑x和y都是变量，我们按砝码去想，x和y是两种可能不是1的砝码，我们的结果只能是由两种砝码的若干倍之和组成，这样显然不能保证拼凑出所有正值，而我们的图形平移的值域肯定是整个正数范围。
这种情况怎么办？好办，加个常数表示偏移量。按照这种思路，用s表示偏移量，则表示二位空间的图形可以用如下顶点矩阵：

带偏移量的顶点矩阵和对应的变换矩阵

这种情况下，我们先假设变换矩阵是一个3 * 3的矩阵，再看看能发现些什么。使用矩阵乘法用变换矩阵去改变顶点矩阵，得到的结果中，任一位置的结果都是由原位置的x值和y值和常量拼凑成的。根据矩阵乘法的规则可以得出，在上图变换矩阵中：
a：变换后x值中原x的倍数，控制x缩放
b：变换后x值中原y的倍数，控制x切变拉伸
c：变换后x值中常量的倍数，控制x偏移
d：变换后y值中原x的倍数，控制y切变拉伸
e：变换后y值中原y的倍数，控制y缩放
f：变换后y值中常量的倍数，控制y偏移
g：变换后常量值中原x的倍数
h：变换后常量值中原y的倍数
i：变换后常量值中原常量的倍数
可以看出，如果sn全部取1的话，我们用变换矩阵可以把原值变成任意正整数，不过顶点之间的相对关系约束还是没法打破的。另外，g、h和i其实没什么意义，所以变换矩阵用2 * 3足矣。
写到这里，平移操作就没什么难度了吧？如果想x轴平移，就改变c的值，如果想y轴平移，就改变f的值。
写到这里可能有人要问：那我改b的值不也是x轴平移么？错！对于任一顶点，x的值可以是不同的，如果你改了b的值，那结果就是不同顶点在x轴上的平移位置不一定相同，那么对于整个图形来说，这就不是平移，而是形变。改变a、b、d、e中任意一个值，都是形变，具体怎么形变的，有兴趣可以自己试试。
最后加一句，矩阵乘法满足结合律，所以对于比较复杂的变换，可以将其分解为基本的平移、旋转等，再相乘得到变换矩阵。