0.目录

1.算法导论的红黑树本质上是2-3-4树
2.红黑树的结构和性质
3.红黑树的插入
4.红黑树的删除
5.基于2-3-4树的左倾红黑树
6.Sedgewick改进的一种更简单的红黑树——基于2-3树的左倾红黑树

相关总结参见：http://www.jianshu.com/p/bdd7442f54e2

红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡二叉查找树，是二叉查找树的变种之一。它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick修改为如今的“红黑树”。 2008年 Robert Sedgewick 对其进行了改进，并命名为 LLRBT(Left-leaning Red Black Tree 左倾红黑树)。左倾红黑树相比1978年的红黑树要简单很多，实现的代码量也少很多。Robert Sedgewick也是Algorithms（中文版叫《算法》）这本书的作者，在这本书中就讲了基于2-3树的左倾红黑树。
现在的使用的工程代码中的红黑树都是基于78年的算法，比如JDK中的TreeMap。其实红黑树就是2-3-4树的具体实现，所以要想理解红黑树就得先理解2-3-4树。而08年左倾红黑树则是基于2-3树。

1.算法导论的红黑树本质上是2-3-4树

1.1 2-3-4树的定义

一棵2-3-4树是一棵完美平衡的2-3-4查找树。

从根到所有叶子节点（NULL叶子）距离都是相同的
允许2-结点、3-结点、4-结点
2-结点：一个健，两个孩子
3-结点：两个键，三个孩子
4-结点：三个键，四个孩子

2-3-4树优良的平衡性
关键的属性：所有从根到叶子（NULL节点）的距离是一样长

树高：

最差情况：lgn (全部是2-结点)
最好情况： 1/2lgn（全部是4-结点）

直接实现2-3-4树是复杂的，使用红黑树代替实现。

1.2 2-3-4树的操作

1.2.1 查找

递归自上而下同结点中的键进行比较，向下找到相关的路径，直至找到为止

1.2.2 插入

插入一个二结点——变成三结点
插入一个三结点——变成四结点
插入一个四结点——分裂四结点

有两种方法（对应第三、第四两节）：

Bottom-up solution (Bayer, 1972)
使用同样的方法分裂父节点
如有需要，沿着树一直向上进行此操作
Top-down solution (Guibas-Sedgewick, 1978)
沿路向下时，分裂遇到的4-结点
到达底部时，直接插入

1.2.2.1 自底向上插入

step1.如果2-3-4树中已存在当前插入的key，则插入失败，否则最终一定是在叶子节点中进行插入操作
step2.如果待插入的节点不是4节点，那么直接在该节点插入
step3.如果待插入的节点是个4节点，那么应该先分裂该节点然后再插入。一个4节点可以分裂成一个根节点和两个子节点（这三个节点各含一个key）然后在子节点中插入，我们把分裂形成的根节点中的key看成向上层插入的key，然后重复step2和step3。

如果是在4节点中进行插入，每次插入会多出一个分支，如果插入操作导致根节点分裂，则2-3-4树会生长一层。

1.2.2.2 自顶向下插入

核心是保证当前结点不是4-结点。
有两个结果：

上下连续两个4-结点不会出现（归纳法：根节点不会是，否则分解成三个2-结点，树高增1；当前结点不会是，要么是2-结点，要么是3-结点；如果下一层是四结点，则进行分解，则下一层要么是2-结点，要么是3-结点，而下一层的父节点可能是4-结点，但是下一层已经不是了，所以不会出现连续两个4-结点）
最底层的结点要么是2-结点，要么是3-结点

分裂四结点的方法：
因为不会出现上下两个连续的4-结点，因此4-结点只可能出现在2-结点或者3-结点下面：

分裂2-结点下面的4-结点
分裂3-结点下面的4-结点
自顶向下插入的示例——树向上增长

另一个例子

1.2.3 删除

任何一个结点的删除，都可以归结为后继结点（一个叶子节点，一定是一个叶子节点，否则在该节点临近的右分支树上还有更小的数）的删除：

16结点的删除，可以将其后继，也即叶子节点中的17代替16，然后归结为删除叶子节点的17
23结点的删除，可以归结为后继叶子节点25结点的删除
50结点的删除，可以归结为后继叶子节点55结点的删除

1.2.3.1 自底向上删除

step1.如果2-3-4树中不存在当前需要删除的key，则删除失败。
step2.如果当前需要删除的key不位于叶子节点上，则用后继key覆盖，然后在它后继key所在的子支中删除该后继key。
step3. 如果当前需要删除的key位于叶子节点上:
step3.1 该节点不是2节点，删除key，结束
step3.2 该节点是2节点，删除该节点：
  step3.2.1 如果兄弟节点不是2节点，则父节点中的key下移到该节点，兄弟节点中的一个key上移

  step3.2.2 如果兄弟节点是2节点，父节点是个3节点或4节点，父节点中的key与兄弟节点合并

  step3.2.3 如果兄弟节点是2节点，父节点是个2节点，父节点中的key与兄弟节点中的key合并，形成一个3节点，把此节点看成当前节点（此节点实际上是下一层的节点），重复步骤3.2.1到3.2.3

如果是在2节点（叶子节点）中进行删除，每次删除会减少一个分支，如果删除操作导致根节点参与合并，则2-3-4树会降低一层。（只有重复step3.2.3，直至根节点，才会发生根的高度减小一层，如下图所示示例）

1.2.3.2 自顶向下删除

自顶向下删除时，保证当前结点不是2-结点（除根节点，因为根节点没有兄弟节点和父节点）。
遇到当前节点是2节点，如果兄弟节点也是2节点就合并（该节点的父节点中的key下移，与自身和兄弟节点合并）；如果兄弟节点不是2节点，则父节点的key下移，兄弟节点中的key上移。这样可以保证，找到需要删除的key所在的节点时可以直接删除（即要删除的key所在的节点一定不是2节点）。

如下示例中，如果删除根节点50怎么办？
方法同自底向上删除一样，用后继55代替50，然后转换为删除55。即同样转换为删除叶子节点，然后自顶向下保证当前结点不为2-结点。

这里包含key为60的节点也可以选择让父节点中的key 76下移和兄弟节点中的83合并，两种方式都能达到B树的平衡，这也是在2-3-4树对应的红黑树中使用的方式。

1.2.4 红黑树与2-3-4树的等价性

2.红黑树的结构和性质

红黑树是一颗二叉搜索树，它在每个结点上增加了一个存储位来表示结点的颜色，可以是red或black。
通过对任何一条从根到叶子的简单路径上各个结点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长处2倍，因而近似于平衡的。

结点属性：color key left right p
可以把NIL视为二叉搜索树的叶节点的指针，而把带关键字的结点视为树的内部结点。

一棵红黑树是满足下面红黑性质的二叉搜索树：

1.每个结点或是红色的，或是黑色的
2.根节点是黑色的
3.每个叶节点NIL时黑色的（这条性质可去掉）
4.如果一个结点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的
5.对每个结点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点

3.红黑树的插入

插入的要求：保持2-3-4树完全平衡，即根到所有的叶子（NULL结点）的距离完全相等，因此必须要求插入的是红色结点。且2-3-4树只能向上增长。（因此必须保证当前结点不是4-结点）
另外4-结点的形式如下：

以下形式不允许：

1）插入2-结点下面，直接插入（红色），变成3-结点

2）插入3-结点下面，直接插入（红色），变成4-结点

3）插入4-结点下面，需要对4-结点进行分裂

对于4-结点进行分裂，会让孩子结点的元素插入到父节点，如果父节点此时是4-结点，则会导致又一次分裂，因此针对这种情况，有两种处理方法：

Bottom-up solution (Bayer, 1972)
使用同样的方法分裂父节点
如有需要，沿着树一直向上进行此操作
Top-down solution (Guibas-Sedgewick, 1978)
沿路向下时，分裂遇到的4-结点（保证当前结点不是4-结点）
到达底部时，直接插入

3.1 自底向上的插入（与1.2.2.1 完全平衡树2-3-4树的自底向上插入一一对应）

将新元素插入到红黑树的底部（作为叶子），并标记为红色。
因此只可能违反性质2或性质4，然后自底向上调整红黑树以修复性质，z和z.p都是红色（主要是性质4，性质2可以通过重新着色完成修复）：

情况1.z的叔结点y是红色的（等同于插入一个4-结点）

*情况2.z的叔结点y是黑色的，且z是一个右孩子（等同于插入一个3-结点）
*情况3.z的叔结点y是黑色的，且z是一个左孩子（等同于插入一个3-结点）

3.2 自顶向下的插入（与1.2.2.2 完全平衡树2-3-4树的自顶向下插入一一对应）

插入的结点还是插入在叶子上，且颜色还为红色，但是保证新插入结点的父节点为黑色，所以在向下的路径中，需要做一些调整（只有一个调整）：

沿路向下找到新元素的插入位置（叶节点）时，如果碰到一个结点X有两个红儿子，则让X变为红的，两个儿子变为黑的（等同于分裂4-结点）

此时可能X和X.p都为红的，则将X X.p X.p.p做旋转，此时X的叔结点一定是黑色的，因为从上到下的过程中已经排除了有两个儿子同为红色的可能性。此时X.p是红色的，那么X的叔结点一定是黑色的。（通过下图恢复——等同于调整4-结点为对称形式，因为4-结点只允许对称形式，这个4-结点是父节点（原来是3-结点），且是因为孩子4-结点分裂上移一个元素成为的4-结点）

例子如下：

step1.插入序列为10,85,15,70,20,60,30,50,65,80,90,40,5,55，形成如下红黑树：
step2.自顶向下的路径为，其中结点50有两个红儿子
step3.重新着色，并调整结构，使其满足红黑树性质
step4.自顶向下插入实现时，要注意如果插入的结点的是3，应当如何处理，这时候，再进行一次旋转即可。3,5都是红色，且3的叔结点一定是黑色（NULL）

4.红黑树的删除

任何一个结点的删除，都可以归结为后继结点（一个叶子节点，一定是一个叶子节点，否则在该节点临近的右分支树上还有更小的数）的删除：

16结点的删除，可以将其后继，也即叶子节点中的17代替16，然后归结为删除叶子节点的17
23结点的删除，可以归结为后继叶子节点25结点的删除
50结点的删除，可以归结为后继叶子节点55结点的删除

删除的要求：保持2-3-4树完全平衡，即根到所有的叶子（NULL结点）的距离完全相等，因此自顶向下设法保证删除的是红色结点（也即保证当前结点不是2-结点）。
1）从叶子4-结点中删除，直接删除，变成3-结点

2）从叶子3-结点中删除，直接删除，变成2-结点

3）从叶子2-结点中删除，需要转换成3-结点或4-结点进行删除（具体参见1.2.3.1 自底向上删除）

4.1 自底向上的删除

4.1.1 一个重要结论：如果一个红黑树结点只有一个儿子，或者没有儿子，则一定是对应2-3-4树叶子节点

没有儿子，肯定是叶子节点
只有一个儿子，则该节点必然是黑色的，且儿子是红色的，则必然是2-3-4树的叶子节点

4.1.2 自底向上删除分为如下四种情况，对这四种情况进行分析（情况1和2可以算作一种，本身z就是对应2-3-4树叶子节点；情况3和4可以算作一种，都是找后继y（对应2-3-4树叶子节点））

1）如果z没有左孩子，那么用其右孩子来代替z，这个右孩子可以是NIL，也可以不是。
2）如果z仅有一个孩子且是其左孩子，用左孩子来代替z
3）否则，z既有一个左孩子又有一个右孩子。我们要查找z的后继y，这个后继位于z的右子树中并且没有左孩子。现在需要将y移出原来的位置进行拼接，并替换树中的z
如果y是z的右孩子，那么用y替换z，并仅留下y的右孩子。
4）否则，y位于z的右子树中但并不是z的右孩子。此时先用y的右孩子替换y，然后再用y替换z。

总结：
情况1和2——删除的都是叶子节点上的值，此时z和y相同，但是此叶子是2-结点和3-结点两种情况，对于另一种4-结点情况的删除，包含在情况3中
情况3和4——本质上都是一样的，寻找z的后继y来代替z，然后删除y；删除y已经是叶子，转换为情况1和2和情况3的叶子删除情况

z——删除的真实结点
y——最后都归结为对结点y的删除：y是被转换为叶子节点中要删除的结点，如果z本身是叶子节点，则y=z；否则y是z的后继
x——x和y同属于一个叶子结点

如果y原来的颜色为红色，红黑树的性质保持，不用进行调整（因为y是叶子节点中的红结点，可以随意删除）
如果y原来的颜色为黑色，会违反性质
1）y是根节点，红色的x成为新根，违反性质2（y既是根节点又是叶子节点，此时只存在一个结点，将x作为根，涂成黑色即可）
2）x和x.p是红色，违反性质4（此时x是红色，将x涂成黑色即可）
3）移动y导致违反性质5（此时x是黑色，根据上面的情况可知x是T.nil）

总结：

1）2）表示y所在的叶子节点是3-结点或者4-结点，删除黑结点后，只要让红色的x成为新的黑结点即可
3）此时x是T.nil，y是一个2-结点，删除2-结点会有问题

（重要）对后面的四种情况进行总结：

情况1对应的父节点是3-结点或4-结点，对应下面情况2中的1）和情况3、情况4，不做实质性处理
情况2对应两种情况：
1）父节点是3-结点或4-结点，兄弟节点是2-结点，对应《1.2.3.1 自底向上删除》step3.2.2
2）父节点和兄弟节点都是2-结点，对应《1.2.3.1 自底向上删除》step3.2.3
情况3和情况4对应兄弟节点是3-结点或4-结点，对应《1.2.3.1 自底向上删除》step3.2.1

当x是黑色时，分为以下四种情况进行调整：
关键思想是在每种情况中，从子树的根（包括根）到每棵子树αβγδεζ之间的黑结点个数（包括x的额外黑色）并不被变换改变。

情况1：x的兄弟节点是红色（对应父节点不是2-结点，情况1没有任何实质性的处理，只是将父节点从右倾变为左倾）
此时，各个子树的黑结点并未变换；且通过修改颜色和左旋转换为情况2、3、4
情况2：x的兄弟节点w是黑色的，而且w的两个子节点都是黑色的（此时2-3-4树中的兄弟节点是2-结点，根据2-3-4中父节点是否是2-结点进行处理）
将x和w上去掉一重黑色，x只有一重黑色而w为红色。并在x.p上新增一重额外的黑色，将x.p作为新的x来重复while循环。
如果是情况1进入到情况2，因为x.p是红色，则新x是红黑色，循环直接终止，将新x着为（单一）黑色。

父节点为3-结点或4-结点：

父节点和兄弟节点均为2-结点：
情况3：x的兄弟节点w是黑色，w的左孩子是红色，w的右孩子时黑色（此时2-3-4树中的兄弟节点不是2-结点；情况3没有做任何处理，只是将左倾变为右倾）
通过交换w和w.left的颜色，对w进行右旋，将情况3转换成了情况4

情况4：x的兄弟w是黑色，且w的右孩子是红色的（此时2-3-4树中的兄弟节点不是2-结点）
此种情况可以去掉x的额外的黑色（无论x.p的颜色是黑色还是红色，都成立）

4.2 自顶向下的删除

核心思路：将删除归结为删除一片红叶子。（保证删除的不是2-结点）
总是可以归结为一个2-3-4树叶子节点中关键字的删除：

本身是叶子节点则满足
如果不是，寻找后继，用后继值代替该节点，则转换为删除后继结点，并且后继一定在一个2-3-4树的叶子节点中

保证删除的不是2-结点？
遇到当前节点是2节点，如果兄弟节点也是2节点就合并（该节点的父节点中的key下移，与自身和兄弟节点合并）；如果兄弟节点不是2节点，则父节点的key下移，兄弟节点中的key上移。这样可以保证，找到需要删除的key所在的节点时可以直接删除（即要删除的key所在的节点一定不是2节点）。
这里可以确定：向下搜索的路径上，当前结点的父节点一定3-结点和4-结点。

（重要）对下面情况的总结：

情况1-1）对应兄弟节点也是2节点就合并（该节点的父节点中的key下移，与自身和兄弟节点合并
情况1-2）和1-3）对应兄弟节点不是2节点，则父节点的key下移，兄弟节点中的key上移
情况2） X本身就不是2-结点，直接下降

《数据结构与算法分析》给出的类似方法：
怎样确保从上到下查找期间树叶是红的？
假设当前结点为X，T是其兄弟，P是其父亲

开始时把树根涂成红色（当两个儿子中有一个为红时，直接下降，不用将根涂成红色，否则有两个连续的红结点，违反性质4），当沿树向下遍历时，设法保证X是红色的
当我们到达一个新结点，要确信P是红的（根节点除外），并且X和T是黑色的
1）X有两个黑儿子
  1-1）T有两个黑儿子（让2-结点变成4-结点）

  1-2）T的左儿子是红色的（父节点的key下移，兄弟节点中的key上移）

  1-3）T的右儿子是红色的（父节点的key下移，兄弟节点中的key上移）

2）X的儿子之一是红的（本身就是3-结点或4-结点，直接下降）
我们落到下一层，得到新的X、T和P。

  2-1）X落到红色的孩子上面，则可以继续下降
  2-2）X落在黑色的孩子上面

旋转过后，又回到了最初的情况，P是红色的，X和T是黑色的。