P4936 题解

吐槽:来自同机房巨佬的嘲讽——这道题这么简单,观察法显然可得通项公式


题目分析:

  1. 分析题面,原题意思如下:

    \(n\)个互不相同的数中取出某些数,将这些数分成两个集合\(A,B\),这两个集合满足两个条件:

    • $ A\(集合中的最大的数小于\)B$集合中最小的数

    • $A,B \neq \emptyset $

    求共有多少种分法(结果对 \(10^9+7\) 取模)

  2. 显然可以发现这题是一道组合数学的题,先手算 \(n \leq 10\) 的数据,在找规律推出公式。我给一下我的思路:

    1. \(n=2\) 时,答案显然为1

    2. \(n=3\) 时,设这些数为 \(a_1,a_2,a_3\) ,不妨设 \(a_1

      1. 当取3个数时,有以下分法:

        \[A=\{a_1 \},B=\{a_2,a_3\}\]

        \[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_3\}\]

        \(C^3_3 \times (3-1)=2\)

      2. 当取2个数时,有以下分法:

        \[A=\{a_1\},B=\{a_2\}\]

        \[A=\{a_1\},B=\{a_3\}\]

        \[A=\{a_2\},B=\{a_3\}\]

        \(C_3^2 \times (2-1)=3\)

      综上,当 \(n=3\) 时,有 \(C^3_3 \times (3-1)+C_3^2 \times (2-1)=5\) 种分法。

    3. \(n=4\) 时,设这些数为 \(a_1,a_2,a_3,a_4\) ,不妨设 \(a_1

      1. 当取4个数时,有以下分法:

        \[A=\{a_1\},B=\{a_2,a_3,a_4\}\]

        \[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_3,a_4\}\]

        \[A=\{a_1,a_2,a_3\},B=\{a_4\}\]

        \(C^4_4 \times (4-1)=3\)

      2. 当取3个数时,有以下分法:

        \[A=\{a_1\},B=\{a_2,a_3\}\]

        \[A=\{a_1\},B=\{a_2,a_4\}\]

        \[A=\{a_1\},B=\{a_3,a_4\}\]

        \[A=\{a_2\},B=\{a_3,a_4\}\]

        \[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_3\}\]

        \[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_4\}\]

        \[A=\{a_1,a_3\},B=\{a_4\}\]

        \[A=\{a_2,a_3\},B=\{a_4\}\]

        \(C^3_4 \times (3-1)=8\)

      3. 当取2个数时,有以下分法:

        \[A=\{a_1\},B=\{a_2\}\]

        \[A=\{a_1\},B=\{a_3\}\]

        \[A=\{a_1\},B=\{a_4\}\]

        \[A=\{a_2\},B=\{a_3\}\]

        \[A=\{a_2\},B=\{a_4\}\]

        \[A=\{a_3\},B=\{a_4\}\]

        \(C^2_4 \times (2-1)=6\)

      综上,当 \(n=4\) 时,有 \(C^4_4 \times (4-1)+C^3_4 \times (3-1)+C^2_4 \times (2-1)=17\) 种分法。

    4. 通过数学归纳(找规律),可得公式:

      \[F(n)=\sum_{i=1}^{n-1}C^{i+1}_n \times i\]

    具体实现的代码就不写了,其他dalao有写。

    时间复杂度:\(O(n^2)\)

    空间复杂度:\(O(n^2)\)

    预计得分:40 points

  3. 考虑优化。

    发现公式中的瓶颈在于如何快速处理组合数,于是开始推递推公式:

    \[F(n+1)-F(n)\times2 =\sum_{i=1}^{n}C^{i+1}_{n+1} \times i-(\sum_{i=1}^{n-1}C^{i+1}_n \times i)\times2 =\sum_{i=1}^{n}C^{i}_{n+1}=2^{n}-1\]

    故得:\(F(n+1)=F(n)\times 2+2^n-1\)

    代码就不写了

    时间复杂度:\(O(n)\)

    空间复杂度:\(O(n)\)

    预计得分:60 points

  4. 继续考虑优化。

    已经写出递推公式的话有两种思路:1. 数学方法推通项公式;2. 矩阵快速幂加速递推公式。

    • 方法一:数学方法推通项公式:

      不会的详见必修五:数列递推求通项或询问数竞同学

      最后推出来的通项公式为:\(F(n)=(n-2)*2^{n-1}+1\) (若此处实在不知道如何推出来的,可以看一看其他人的题解)

      这里 \(2^{n-1}\) 用快速幂实现(注意,不能用 \(<<\) 来做,会爆 long long)

      代码见code1

      时间复杂度:\(O(\text{log}n)\)

      空间复杂度:\(O(1)\)

      预计得分:100 points

    • 方法二:矩阵快速幂优化:

      个人认为这个方法可能鲜有人能想到(太麻烦了),我就仔细讲一讲。

      首先,观察递推公式中有如下几个影响值:\(F(n),2^n,-1\) ,故与单位矩阵相乘的矩阵为

      \[\begin{bmatrix} F(n-1)\\ 2^{n-1}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]

      得到的矩阵为

      \[\begin{bmatrix} F(n)\\ 2^{n}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]

      通过一顿乱搞(不会矩阵加速的可以做一做 P1939 【模板】矩阵加速(数列)和 P1962 斐波那契数列),推出单位矩阵:

      \[\begin{bmatrix} 2&1&-1\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\]

      故矩阵递推式为:

      \[\begin{bmatrix} F(n-1)\\ 2^{n-1}\\ 1\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2&1&-1\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} F(n)\\ 2^{n}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]

      化为矩阵幂形式得:

      \[\begin{bmatrix} F(2)\\ 2^2\\ 1\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2&1&-1\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}^{n-2} =\begin{bmatrix} F(n)\\ 2^{n}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]

      套魔板即可。

      代码见code2

      时间复杂度:\(O(\text{log}n)\)

      空间复杂度:\(O(1)\)

    两种方法的优劣:

    • 第一种方法难算,需要较好的数学基础,但最后实现时时间复杂度在 \(O(1)\)\(O(\text{log}n)\) ,常数极小。
    • 第二种方法是数列加速的常用方法,简单易想,但常数较大,本题为常数为27,即在大数据下比第一种方法慢2—3倍

    Code1:

    #include
     //#define file
     #define modn (int)(1e9+7)
     #define int long long
     using namespace std;
     int n;
     inline int ksm(int x,int y,int p)
     {
         if(y==0) return 1%p;
         if(y==1) return x%p;
         int rst=ksm(x,y/2,p)%p;
         if(y%2==0)
         {
             return rst*rst%p;
         }else
         {
             int tmp=rst*rst%p;
             return tmp*x%p;
         }
     }
     signed main()
     {
         #ifdef file
         freopen("Agent1.in","r",stdin);
         freopen("Agent1.out","w",stdout);
         //F(n)=\sum_{i=1}^{n-1}C^(i+1)_n*i
         //F(n)=F(n-1)*2+2^{n-1}-1
         #endif
         scanf("%lld",&n);
         int ans=(n-2)*ksm(2,n-1,modn)%modn+1;
         printf("%lld\n",ans);
         return 0;
     } 

    AC,49ms / 800.00KB


    Code2(本代码为我的教练所写,码风可能有些许不同):

    #include 
    using namespace std;
    #define int long long
    #define mod 1000000007
    int jz[3][3] = {{2,1,-1},{0,2,0},{0,0,1}}, 
        jz1[3][3] = {{2,1,-1},{0,2,0},{0,0,1}};
    int base[3][3];
    void cheng()
    {
        memset(base,0,sizeof(base));
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++)
            {
                for(int k=0;k<3;k++)
                {
                    base[i][j] += jz1[i][k]*jz1[k][j];
                    base[i][j] = (base[i][j]+mod)%mod;
                }
            }
        }
         memcpy(jz1,base,sizeof(base)); 
    }
    void chengjz()
    {
        memset(base,0,sizeof(base));
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            for(int j=0;j<3;j++)
            {
                for(int k=0;k<3;k++)
                {
                    base[i][j] += jz1[i][k]*jz[k][j];
                    base[i][j] = (base[i][j]+mod)%mod;
                }
            }
        }
        memcpy(jz1,base,sizeof(base)); 
    }
    void quickpow(int k)
    {
        if(k==1) return;
        quickpow(k/2);
        cheng();
        if(k%2!=0) chengjz();
    }
    signed main()
    {
        int n;
        cin>>n;
        if(n==2)
        {
            printf("1");
            return 0;
        }
        quickpow(n-2);
        int ans = (jz1[0][0]+ 4*jz1[0][1]%mod + mod + 1*jz1[0][2]) mod;
        cout<

    AC,48ms / 796.00KB

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