一元函数、多元函数的泰勒公式

本章涉及知识点：

1、一元函数的泰勒公式推导

2、扩展：二元函数的泰勒公式

3、二元函数的泰勒矩阵形式

4、多元函数的泰勒矩阵形式

5、案例演示

一、一元函数的泰勒公式推导

情况一：如果为一阶连续可微分，且已知

则由微积分基本定理的Newton-Leibniz公式得

一阶连续可微

即可以拆分为已知的和未知的两部分之和

情况二：如果为二阶连续可微分，且已知和

则由分部积分法得

二阶连续可微

即可以拆分为已知的和未知的两部分之和

情况三：如果为三阶连续可微分，且已知、和

则继续使用分部积分法得

三阶连续可微

即可以拆分为已知的和未知的两部分之和

由数学归纳法以此类推，如果为n+1阶连续可微分，则

n+1阶连续可微

上式就是完美的泰勒公式，我们对的阶数知道越多，则解剖的越精细

其中余项可以表示为积分形式，即

余项的积分形式

我们一般在数学分析学中使用泰勒二阶展开，即

泰勒二阶展开

二、扩展：二元函数的泰勒公式

通过类比一元函数得泰勒公式，我们容易将二元函数在点进行二阶泰勒展开来分析研究（其中三阶连续可微）

二元函数的二阶泰勒展开

我们整理一次展开项，得

1次展开项

整理二次展开项，得

2次展开项

则在点进行二阶泰勒公式可以写为：

二元函数的2阶泰勒公式

由数学归纳法，易知的n次展开项为

n次展开项

则在点进行n阶泰勒公式可以写为：

二元函数的n阶泰勒公式

至此我们得到了二元函数的n阶泰勒公式，当然，我们还可以继续化简得

二元函数的n阶泰勒公式

三、二元函数的泰勒矩阵形式

为了便于以后研究分析多元函数的极值和凸优化最值问题，我们需要继续探索二元并推广到多元函数的泰勒矩阵形式，一般展开到二阶

将二元函数在点的二阶泰勒公式写为矩阵形式，即

二元函数的二阶泰勒矩阵形式

我们记：，

则在点的二阶泰勒的矩阵形式为

二元函数的二阶泰勒矩阵形式

其中H矩阵叫做的Hessian矩阵(黑塞矩阵)，我们在多元函数极值分析中再分析讨论

四、多元函数的的泰勒矩阵形式

由上述二元函数的泰勒矩阵形式，我们很容易推广到多元函数的泰勒矩阵形式

对于n元函数，研究其在点的泰勒矩阵形式

同理，我们记：，

同理，我们可以推出在点的二阶泰勒的矩阵形式为

多元函数的二阶泰勒矩阵形式

可以看到在矩阵形式下，多元函数的二阶泰勒矩阵形式和二元函数的区别为：函数自变量的维度和Hessian矩阵的shape

且由线性代数的知识可知，多元函数的二阶泰勒矩阵形式是一个关于的二次型方程，这对于我们后面分析多元函数极值的情况非常有用

五、案例演示

下面我们以一元函数为例，通过一个案例演示泰勒公式

案例函数为：

已知：和的值（注意我们只知道在处的k阶导函数值，并不知道的k阶导函数）

未知：的函数表达式，以及的k阶导函数表达式

需求：给定任意x逼近计算

解决方案：的taylor近似计算

递归求fx的高阶导函数值

计算fx的N阶泰勒公式函数值

近似拟合结果

从结果中可以看到：从15阶高阶导数开始，taylor公式已非常近似逼近未知的

案例代码见：一元函数的泰勒公式