AcWing 204. 表达整数的奇怪方式 / Strange Way To Express Integers

我作为一个初中蒟蒻,听y大视频听了5遍还不懂,快哭了。然后终于(好像)搞懂,写成题解加深一下记忆...

将式子等价转换

对于每两个式子(我们考虑将其合并):

\(x \equiv a_1 \%\ m_1\)

\(x \equiv a_2 \%\ m_2\)

则有:

\(x = k_1 * a_1 + m_1\)

\(x = k_2 * a_2 + m_2\)

进一步:

\(k_1 * a_1 + m_1 = k_2 * a_2 + m_2\)

移项:

\(k_1 * a_1 - k_2 * a_2 = m_2 - m_1\)

也就是:

\(k_1 * a_1 + k_2 * (-a_2) = m_2 - m_1\)

也就是我们需要找到一个最小的\(k_1, k_2\),使得等式成立(因为要求\(x\)最小,而\(a\)\(m\)都是正数)。


用扩展欧几里得算法找出一组解

我们已知\(a_1,m_1,a_2,m_2\),可以用扩展欧几里得算法算出一个\(k'_1, k'_2\)使得:

\(k'_1 * a_1 + k'_2 * (-a_1) = gcd(a_1, -a_2)\)


无解判断:

\(gcd(a_1, -a_2) \nmid m_2 - m_1\),则无解。


我们设\(d = gcd(a_1, -a_2),y = \frac{(m_2 - m_1)}{d}\)

承接上文,我们只需让\(k_1, k_2\)分别扩大\(y\)倍,则可以找到一个\(k_1, k_2\)满足①式:

\(k_1 = k'_1 * y, k_2 = k'_2 * y\)

找到最小正整数解

我们知道一个性质:

\(k_1 = k_1 + k *\frac{a_2}{d}\)

\(k_2 = k_2 + k *\frac{a_1}{d}\)

\(k\)为任意整数,这时新的\(k_1, k_2\)仍满足①式。


证明:

将新的\(k_1, k_2\)带入式子得:

\((k_1+k*\frac{a_2}{d})*a_1+(k_2+k*\frac{a_1}{d})*(-a_2)=m_2-m_1\)

拆出来:

\(k_1*a_1+k*\frac{a_2*a_1}{d}+k_2*(-a_2)+k*\frac{a_1*(-a_2)}{d}=m_2-m_1\)

交换一下顺序,把负号拆出来:

\(k_1*a_1+k_2*(-a_2)+k*\frac{a_2 * a_1}{d}-k*\frac{a_1 * a_2}{d}=m_2-m_1\)

那个同加同减可以消掉:

\(k_1*a_1+k_2*(-a_2)=m_2-m_1\)

这个式子和①是一样的,因①成立,故此式也成立。


要找一个最小的非负整数解,我们只需要让

\(k_1 = k_1 \%\ abs(\frac{a_2}{d})\)

\(k_2 = k_2 \%\ abs(\frac{a_1}{d})\)

即可找到当前最小的\(k_1, k_2\)的解,即此时的\(k\)\(0\)

\(Q\):此处为什么要取绝对值呢

\(A\):因为不知道\(\frac{a_2}{d}\)的正负性,我们在原基础上要尽量减多个\(abs(\frac{a_2}{d})\),使其为正整数且最小。


等效替代:

由②式带入

新的\(x\)为:

\(x = (k_1 + k * \frac{a_2}{d}) * a_1 + m_1\)

\(= k_1 * a_1 + m_1 + k * \frac{a_2 * a_1}{d}\)

\(= k_1 * a_1 + m_1 + k * lcm(a_1, a_2)\)


\(Q\):这里,\(k\)都为\(0\)了,为什么还要算呢?

\(A\):因为这只是前两个式子得最小\(k\),有可能遇到下一个式子后面被迫要扩大


在③中,我们设\(a_0 = lcm(a_1, a_2), m_0 = k_1 * a_1 + m_1\)

那么:

③ $ = k * a_0 + m_0$

这个形式与一开始我们分解的形式是不是特别像呢?

没错!假设之后又来了一个\(a_3, m_3\)


我们只需要继续找:

\(x = k * a_0 + m_0 = k_3 * (-a_3) + m_3\),那么问题又回到了第一步。

总结

我们的做法相当于每次考虑合并两个式子,将这\(n\)个式子合并\(n - 1\)次后变为一个式子。最后剩下的式子就满足我们的答案。

注意:

  1. \(lcm(a_1, a_2)\)\(\% \frac{a_2}{d}\),需要取绝对值。又因为\(d = gcd(a_1, -a_2)\),我们不知道\(a_1\)的正负性(可能是上一步推过来的)。

  2. \(\% \frac{a_2}{d}\),需要取绝对值, 膜负数的话,不会取到正解;

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
LL inline mod(LL a, LL b){
    return ((a % b) + b) % b;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    LL a1, m1;
    scanf("%lld%lld", &a1, &m1);
    for(int i = 1; i < n; i++){
        LL a2, m2, k1, k2;
        scanf("%lld%lld", &a2, &m2);
        LL d = exgcd(a1, -a2, k1, k2);
        if((m2 - m1) % d){ puts("-1"); return 0; }
        k1 = mod(k1 * (m2 - m1) / d, abs(a2 / d));
        m1 = k1 * a1 + m1;
        a1 = abs(a1 / d * a2);
    }
    printf("%lld\n", m1);
    return 0;
}

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