[分治算法]因式分解

整数因子分解问题

http://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2.dev/index.php/Home/Index/problemdetail/pid/1722.html

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Problem Description

大于1的正整数n可以分解为:n=x1*x2*…*xm。例如,当n=12 时,共有8 种不同的分解式:
12=12;
12=6*2;
12=4*3;
12=3*4;
12=3*2*2;
12=2*6;
12=2*3*2;
12=2*2*3。
对于给定的正整数n,计算n共有多少种不同的分解式。

Input

输入数据只有一行,有1个正整数n (1≤n≤2000000000)。

Output

将计算出的不同的分解式数输出。

Sample Input

12

Sample Output

8

算法一(超时)

算法思路:

[分治算法]因式分解_第1张图片

 

   比如以 12为例,情况1)与 情况2)都应该计算在Count中,但情况2)是根据情况1)产生的。因此需要递归,每层函数对i进行遍历一遍,如果temp/i==0,说明该层的数可以被分解,再递归进入下一层。

代码:

 1 #include 
 2 #include 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int Count;
 6 
 7 // 来计算整数因子分解问题
 8 void func(int temp) {
 9     
10     for (int i = 2; i < temp; i++) {
11         if (temp%i == 0) {
12             Count++;
13             func(temp / i);
14         }
15     }
16 }
17 
18 int main() {
19 
20     Count = 0;
21     int temp;
22     cin >> temp;
23     func(temp);
24     cout << Count+1 << endl;
25 }

算法二(优化)

算法一存在的弊端:我们求(i,temp/i)中 temp/i 的因式分解个数时,会重复计算(如下图)

[分治算法]因式分解_第2张图片

 

 

解决算法一的策略:我们采用一个数组直接存储数字6的因子,如果发现该arr[6]中存在数,则直接用避免重复计算。

算法思路:

依然采用递归,t = i * j,则 count(t) = count(i) + count(j);为避免重复计算 (t = i * j = j * i),应该限制 i < j,即 for(i;i

注意事项:

  1.  使用 map 时包含
  2. 使用 sqrt() 时包含

代码:

 1 // 算法.cpp : 此文件包含 "main" 函数。程序执行将在此处开始并结束。
 2 //
 3 
 4 #include "pch.h"
 5 #include 
 6 #include 
 7 #include 
 8 #include 
 9 using namespace std;
10 
11 map<int, int> a;
12 
13 int f(int n) {
14 
15     if (a[n]) {
16         return  a[n];
17     }
18 
19     int Count = 1; // x  = x 
20     for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
21         // 如果 x = j*k 可以分解,则先添加进 [j]。
22         if (n % i == 0) {
23             Count += f(i);
24             // 如果 j!=k,则再添加进k
25             if (i != n / i) {
26                 Count += f(n / i);
27             }
28         }
29 
30     }
31 
32     a[n] = Count; // 记录在数组中,为之后的使用
33     return Count;
34 }
35 
36 int main() {
37     int n;
38     cin >> n;
39     cout << f(n);
40 }

 

 
 

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