模拟70 题解

A. 木板

相似三角形，简单推出结论。

发现要求的是$\sum \limits_{i=1}^{n-1}[n|i*i]$。

那么只要把$n$质因数分解，

设为$\prod_{j}^{} p_j^{c_j}$，

那么设$k$为最小的合法的$i$，有$k=\prod_{j}^{} p_j^{\lceil \frac{c_j}{2} \rceil}$

显然对于任意$k|i$,$i$都是合法的。

所以只要用n除k，也就是将向上取整改为向下取整，再减掉对于恰好为$n$的方案数1就可以了。

可以证明，这样与求欧拉函数$\varphi$，求最大平方因子的做法是等价的。

 

 

 

B. 打扫卫生

设$dp(i)$表示以$i$结尾的最优方案。

那么：

$dp(i)<=i$，因为对于每个mikufun$cow$单独成组的答案为$i$。

$dp(i)$关于$i$单调不降，因为如果存在$idp(j)$，那么可以使$j$的转移点转移到$i$，使得$dp(i)$更优。

由第一条性质，当颜色数大于根号，可以被我们忽视。

由第二条性质，我们只关注每种颜色数最靠前的转移点。

所以维护每个点颜色的$pre$，用一个类似链表的结构维护最优转移点就可以了。

 

 

 

C. 骆驼

第一次做构造题。

考场上最后半个小时，想到了可以用$n=5$构造。

打表验证了任意点为起点，任意点为终点，确实存在一种方案。

然而感觉似乎很难打，于是放弃了。

所以正解确实是这样的。

暴搜$n=5$的所有情况，然后对于$\frac{n}{5}$的奇偶性分类讨论。