模拟70 题解

A. 木板

相似三角形,简单推出结论。

发现要求的是$\sum \limits_{i=1}^{n-1}[n|i*i]$。

那么只要把$n$质因数分解,

设为$\prod_{j}^{} p_j^{c_j}$,

那么设$k$为最小的合法的$i$,有$k=\prod_{j}^{} p_j^{\lceil \frac{c_j}{2} \rceil}$

显然对于任意$k|i$,$i$都是合法的。

所以只要用n除k,也就是将向上取整改为向下取整,再减掉对于恰好为$n$的方案数1就可以了。

可以证明,这样与求欧拉函数$\varphi$,求最大平方因子的做法是等价的。

 

 

 

B. 打扫卫生

设$dp(i)$表示以$i$结尾的最优方案。

那么:

$dp(i)<=i$,因为对于每个mikufun$cow$单独成组的答案为$i$。

$dp(i)$关于$i$单调不降,因为如果存在$idp(j)$,那么可以使$j$的转移点转移到$i$,使得$dp(i)$更优。

由第一条性质,当颜色数大于根号,可以被我们忽视。

由第二条性质,我们只关注每种颜色数最靠前的转移点。

所以维护每个点颜色的$pre$,用一个类似链表的结构维护最优转移点就可以了。

 

 

 

C. 骆驼

第一次做构造题。

考场上最后半个小时,想到了可以用$n=5$构造。

打表验证了任意点为起点,任意点为终点,确实存在一种方案。

然而感觉似乎很难打,于是放弃了。

所以正解确实是这样的。

暴搜$n=5$的所有情况,然后对于$\frac{n}{5}$的奇偶性分类讨论。

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