状态压缩dp

总述

状压dp就是利用计算机二进制的性质来描述状态的dp

&	按位与	如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
l	按位或	两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
^	按位异或	若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
~	取反	~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取\反，即将0变1，将1变0
<<	左移	用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0
>>	右移	将一个数的各二进制位右移N位，移到右端 的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0

1- 判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1

if(((1<<(i−1))&x)>0)

2- 将一个数字x二进制下第i位更改成1

x=x|(1<<(i−1))

3- 把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉

x=x&(x−1)

旅行商问题TSP

题意

给定一个n个顶点组成的带权的有向图的距离矩阵d(i,j)，要求从0开始结果所有点一次回到0，求经过边的总权重的最小值，（2≤n≤15，0≤d(i,j)≤1000）

画个样例方便理解，比如n=5，如图

所有可能路线一共有 !n 种，就算本题的 n 很小了 !n 还是很大

可能有人会想到跑最短路，但是最短路不保证走遍每一个点，而即使我们加上了点的计数，那也不能保证不成环

其实求最小值的状压甚至可以被一些优秀的随机化算法，比如模拟退火水过，不过这些算法最怕的就是求所有状态，而状态压缩DP就做到了求出所有状态这一点

把起点0当作还未访问过的顶点，假设现在已经访问过的顶点的集合为S，当前所在的顶点为v，dp(S,v)表示现在从v出发访问剩余的所有顶点，最终回到顶点0的路径的权重的总和的最小值，集合V表示为所有城市的集合，从0到0就是路程为0

假设从v出发可以移动到任意一个节点u，d(v,u)表示v到u点的权值，显然u不属于S，所以就有：

这里涉及到集合表示和处理的问题，用set效率相对较低，但我们可以在二进制位中逐位保存某个点“存在”和“不存在”的情况，这只需涉及到二进制的位运算，速度很快，这里S或运算u表示讲u加入到集合S中

判断u是否存在于集合S中的话，那么只需要判断S∨(2^u)（ 也就是S&(1<

dp[S][v]=min(dp[S][v],dp[S|1<

S|1<

例题

洛谷1171

Traveling by Stagecoach

描述
旅行家所在国家有m个城市(2≤m≤30)，有一个人从某个城市要到另一个城市消耗一张车票
旅行家一共有n(1≤n≤8)张车票，每张车票上记录有这次行程使用的马匹的数量
第i张车票上马的匹数是ti (1≤ti≤10)，一张车票只能用一次
一个城市到另一个城市移动的时间=路程(1≤路程≤100)/马匹的数量
求a城到b城的最短时间(1≤a,b≤m)，无法到达输出impossible

考虑一下：现在在城市 v，此时还剩下的车票的集合为S 的状态，我们用dp [S] [v] 表示，在这个状态出发，使用一张车票 i∈S 移动到相邻城市u，就能转移到 现在在城市 u，此时还剩下的车票的集合为S\{i} (就是集合S删去元素i，理性理解下) 这个状态

把上面的状态转移看作一条边，边上的权就是 (v-u路长)/ti，由于车票不断消耗，所以这个图实质上是DAG，就变成了DAG上求最短路

if(使用车票)
    dp[S & ~(1 << i)][u] = min( dp[S & ~(1 << i)][u], dp[S][v]+v到u路长/t[i] )

Mondriaan's Dream