动态规划问题几种经典例题
动态规划问题实际就是记录之前的一些重复的子问题，以避免重复问题的方法，是一种以空间换时间的方法
1.最长递增子序列：
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/585d46a1447b4064b749f08c2ab9ce66
来源：牛客网
对于一个数字序列，请设计一个复杂度为O(nlogn)的算法，返回该序列的最长上升子序列的长度，这里的子序列定义为这样一个序列U1，U2...，其中Ui < Ui+1，且A[Ui] < A[Ui+1]。
给定一个数字序列A及序列的长度n，请返回最长上升子序列的长度。
测试样例：
[2,1,4,3,1,5,6],7返回：4解析：利用一个矩阵dp[i]来存储每个元素所在的最长递增序列，然后在寻找最大值
最长子序列应为 1，4，5，6 长度为4
class AscentSequence {
public:
int findLongest(vector A, int n) {
// write code here
vector dp(n, 1);
int max_length = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (A[i] > A[j])
{
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (dp[i] > max_length)
{
max_length = dp[i];
}
}
return max_length;
}
}; 2.最长公共子序列
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c996bbb77dd447d681ec6907ccfb488a
来源：牛客网
对于两个字符串，请设计一个高效算法，求他们的最长公共子序列的长度，这里的最长公共子序列定义为有两个序列U1,U2,U3...Un和V1,V2,V3...Vn,其中Ui<Ui+1，Vi<Vi+1。且A[Ui] == B[Vi]。
给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。
测试样例：
"1A2C3D4B56",10,"B1D23CA45B6A",12返回：6解析：注意是连续子序列，而不是连续子串
用一个dp矩阵，两个字符串一个横对应，一个纵对应
dp[i][j]表示字符串A和字符串B的最长公共子序列的长度
如果A[i]==B[j] dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
A[i] !=B[j] dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
最后返回dp[n][m]
class LCS {
public:
int findLCS(string A, int n, string B, int m)
{
// write code here
vector>dp(n+1,vector(m+1,0));
for(int i=0;i 3.最长公共子串
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/02e7cc263f8a49e8b1e1dc9c116f7602
来源：牛客网
对于两个字符串，请设计一个时间复杂度为O(m*n)的算法(这里的m和n为两串的长度)，求出两串的最长公共子串的长度。这里的最长公共子串的定义为两个序列U1,U2,..Un和V1,V2,...Vn，其中Ui + 1 == Ui+1,Vi + 1 == Vi+1，同时Ui == Vi。
给定两个字符串A和B，同时给定两串的长度n和m。
测试样例：
"1AB2345CD",9,"12345EF",7
返回：4
解析：最长公共子串而不是最长子序列，说明是连续的
因此这道题的处理和最长子序列的差别也就存在于如何确定连续？
与寻找最长子序列的不同是，我们不再单纯的赋1，因为在矩阵完成之后，我们仍要去寻找连续1最长的，很麻烦
因此我们直接对左上角的值加1，就会得到一个最大的值
| H | E | L | L | O | |
| E | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| L | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 |
| L | 0 | 0 | 1 | 3 | 0 |
| O | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 |
class LongestSubstring {
public:
int findLongest(string A, int n, string B, int m)
{
// write code here
int Alength = A.size();
int Blength = B.size();
int max_length = 0;
vector> dp(Alength, vector(Blength, 0));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
if (A[i - 1] == B[j - 1])
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
max_length = max(max_length, dp[i][j]);
}
}
return max_length;
}
};