leetcode 45 跳跃游戏II 详细题解＋证明 0(n)方法

题意

给定一个数组(长度n)，然后每个数组1个integer(1-k)，每个数字表示可以往后走1-a[i]步，求最少多少步走到．输出一个整数表示多少布．

动态规划(0(n*k))

第一个方法就是使用动态规划的方法来做，但是复杂度很大，而且是最简单的动态规划问题，因此这里不讨论．

贪心(0(n))

考虑如何贪心，假如当前处于第i个位置，$a_i$是表示跳跃数，有$p,q\in [i+1,i+a_i]$，表示有$p$和$q$两个可以跳到的位置．
假如$p+a_p<q+a_q$则p可以一步跳到的位置，q一定可以一步跳到．例如i -> p -> new ; 则由于new < $q+a_q$ , 所以一定有i -> q -> new，所以q一定优于p .

所以可以使用其他的一些优化方法，例如堆可以到达0(n*lgn) , 单调栈可以 0(n)．

但是其实还有一个优化可以让我们不使用单调栈：
那就是假如q是最优，那么$ma{x}_{j=i+1}^{j\le i+a_i}j+a_j=ma{x}_{j=1}^{j\le i+a_i}j+a_j$
因为加入不是，那么有一个 g 使得 $g+a_g>q+a_q且g<i$ , 则到达q的路径一定存在一个1 -> … -> m -> … -> q使得 $g属于[m+1,m+a_i]$，因此这个时候，选择的一定会选择g而不是p．所以得出结论．因此可以直接记录最大的j，则可以用0(n)做出来了．