公开课机器学习笔记（7）Softmax回归模型
在本节中，我们介绍Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签 
可以取两个以上的值。 Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。（译者注： MNIST 是一个手写数字识别库，由NYU 的Yann LeCun 等人维护。http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ ）
回想一下在 logistic 回归中，我们的训练集由 
个已标记的样本构成：
，其中输入特征
。（我们对符号的约定如下：特征向量 
的维度为 
，其中 
对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 
。假设函数(hypothesis function) 如下：
我们将训练模型参数 
，使其能够最小化代价函数 ：
![\begin{align}J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]\end{align}](http://img.e-com-net.com/image/info8/0d8abffb57924a68baa79fbf0de5a877.png)
在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 可以取 
个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 
。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）。例如，在 MNIST 数字识别任务中，我们有
个不同的类别。
对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 
。也就是说，我们想估计 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 
形式如下：
其中 
是模型的参数。请注意 
这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。
为了方便起见，我们同样使用符号 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 用一个 
的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 
按行罗列起来得到的，如下所示：
代价函数
现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中，
是示性函数，其取值规则为：
值为真的表达式
， 
值为假的表达式 
。举例来说，表达式 
的值为1 ，
的值为 0。我们的代价函数为：
![\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]\end{align}](http://img.e-com-net.com/image/info8/039db3ef4c864654ad6ec6b353a85f7f.png)
值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：
可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 分类为类别 
的概率为：
-
.
对于 
的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：
![\begin{align}\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] }\end{align}](http://img.e-com-net.com/image/info8/cebd3336050b498db18c62a6d7462ea6.png)
让我们来回顾一下符号 "
" 的含义。
本身是一个向量，它的第 
个元素 
是 对
的第 个分量的偏导数。
有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新:
(
）。
当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
Softmax回归模型参数化的特点
Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 中减去了向量 
，这时，每一个 都变成了 
()。此时假设函数变成了以下的式子：
换句话说，从 中减去 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 
。
进一步而言，如果参数 
是代价函数 的极小值点，那么 
同样也是它的极小值点，其中 可以为任意向量。因此使 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）
注意，当 
时，我们总是可以将 
替换为
（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 （或者其他 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 个参数 （其中 
），我们可以令 
，只优化剩余的 
个参数，这样算法依然能够正常工作。
在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 
，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
权重衰减
我们通过添加一个权重衰减项 
来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：
![\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2\end{align}](http://img.e-com-net.com/image/info8/2a61fb08ab9542f3943a5b73669d8b57.png)
有了这个权重衰减项以后 (
)，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 的导数，如下：
![\begin{align}\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j\end{align}](http://img.e-com-net.com/image/info8/793f3b0dcebd4e15969462602f6dbd78.png)
通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。
Softmax回归与Logistic 回归的关系
当类别数 
时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 时，softmax 回归的假设函数为：
利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量 ，得到:
因此，用 
来表示
，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 
，另一个类别概率的为 
，这与 logistic回归是一致的。
Softmax 回归 vs. k 个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？
这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。