EXGCD

EXGCD算法

作用：找出一元不定方程的一组特解，并且返回最大公约数。

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推导：

设方程ax + by = c，且c = (a, b)。

可以有如下的关系：

a x0 + b y0 = gcd(a, b)

b x1 + a%b y1 = gcd(b, a%b)
（递归的过程，很明显gcd(a, b) == gcd(b, a%b）)

a%b x2 + b%(a%b) y2 = gcd(a%b, b%(a%b))
………………………………………
an xn + bn yn = gcd(an, bn)

对于这一组中必有bn = 0，因此可以求出xn = 1, yn = 0（b–a%b–b%(a%b)——最后b会是0），同时返回的an是a与b的最大公约数。

根据前两个式子知道（gcd(a, b) == gcd(b, a%b)）：

a x0 + b y0 = b x1 + a%b y1

a x0 + b y0 == b x1 + a y1 - a/b*b y1

根据系数相等知道：

x0 = y1, y0 = x0 - a/b。
利用这个关系从1 0这一组解往前推就能找到一组特解。

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直接扔代码：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int temp = y;
    y = x - a / b * y;
    x = temp;
    return r;
}