序列的分类

  将序列进行分类，利用分类的特征可以简化许多信号处理算法。

基于对称性的分类

  若$x[n]=x^{\ast }[-n]$，则称序列$x[n]$为共轭对称序列，如果序列$x[n]$是实序列，那么称其为偶序列。明显要满足这样的条件，$x[n]$的有值区间必须是对称的。

  若$x[n]=-x^{\ast }[-n]$，则称序列$x[n]$为共轭反对称序列，如果$x[n]$为实序列，那么称其为奇序列。同理，$x[n]$的有值区间必须是对称的。

  任何序列$x[n]$都可以表示为共轭对称序列$x_{cs}[n]$和共轭反对称部分$x_{ca}[n]$之和。
$$x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n]$$
其中
$$\begin{gathered} x_{cs}[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x^{\ast }[-n]) \\ {x}_{ca}[n]=\frac{1}{2}(x[n]-x^{\ast }[-n]) \end{gathered}$$
容易证明$x_{cs}[n]$为共轭对称序列，$x_{ca}[n]$为共轭对称序列。

注意：
  上面$x[n]$能分解成共轭对称部分和反共轭对称部分之和的前提是$x[n]$是定义在对称区间上，即$-M\le n\le M$。

例：考虑定义在$-3\le n\le 3$上且长度为$7$的有限长序列：
$$g[n]=\{0,1+j4,-2+j3,\underset{\uparrow }{4-j2},-5-j6,-j2,3\}$$

求其共轭对称部分$g_{cs}[n]$和共轭反对称部分$g_{ca}[n]$。

解：首先求得$g[n]$的共轭部分
$$g^{\ast }[n]=\{0,1-j4,-2-j3,\underset{\uparrow }{4+j2},-5+j6,j2,3\}$$

将其时间反褶得到
$$g^{\ast }[-n]=\{3,j2,-5+j6,\underset{\uparrow }{4+j2},-2-j3,1-j4,0\}$$

则共轭对称部分为
$$g_{cs}[n]=\{1.5,0.5+j3,-3.5+j4.5,\underset{\uparrow }{4},-3.5-j4.5,0.5-j3,1.5\}$$

共轭反对称部分为
$$g_{ca}[n]=\{-1.5,0.5+j,1.5-j1.5,\underset{\uparrow }{-j2},-1.5-j1.5,0.5-j,1.5\}$$

周期信号和非周期信号

  如果序列$x[n]$满足
$$x[n+kN]=x[n]$$
其中$N$是正整数，$k$是任意整数。那么称序列$x[n]$为周期为$N$的周期序列，一般周期序列记为$\tilde{x}[n]$

  如果序列不是周期序列，则称序列为非周期序列。

  两个周期序列相加还是周期序列，$\tilde{y}[n]={\tilde{x}}_a[n]+{\tilde{x}}_b[n]$,其周期为两个周期的最小公倍数$LCM(N_a,N_b)$。

  两个周期序列相乘还是周期序列，$\tilde{y}[n]={\tilde{x}}_a[n]{\tilde{x}}_b[n]$其周期最大为两个周期的最小公倍数$LCM(N_a,N_b)$，实际上的周期可能比这个小。

能量信号和功率信号

  序列$x[n]$的能量定义为：
$${\epsilon }_x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2$$

  非周期序列的平均功率定义为
$$P_x=\underset{K\to \infty }{\lim }\frac{1}{2K+1}\sum _{n=-K}^K|x[n]{|}^2$$

  定义有限区间$-K\le n\le K$的能量为
$${\epsilon }_{x,K}=\sum _{n=-K}^K|x[n]{|}^2$$

  则平均功率与能量的关系为
$$P_x=\underset{K\to \infty }{\lim }\frac{1}{2K+1}{\epsilon }_{x,K}$$

  如果一个序列的能量有限，那么称这个序列为能量信号，如果一个序列的功率有限且不为零，那么称这个序列为功率信号。

  从功率的与能量的关系可以看出，一个信号如果能量有限，那么它的功率为零，所以一个能量信号不可能是功率信号。如果一个信号为功率信号，那么它的能量必定为无穷，所以一个功率信号不可能为能量信号。

  综上，一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但是存在既不是周期信号也不是能量信号的信号，比如在一个周期内能量为无穷的信号。

  由于周期信号的在每个周期的能量不为零，所以周期信号的能量必定为无穷大(为无穷多个周期的能量加起来)，所以周期信号只可能是功率信号(也可能不是，如果一个周期的能量为无穷的话)。

  定义周期信号的平均功率为

$$P_x=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}|\tilde{x}[n]{|}^2$$
这个表达式的意义为周期信号的功率为其在一个周期内的功率，显然这样的定义是合理的。

能量信号示例

  无限长序列$x[n]$定义如下
$$x[n]=\{\begin{array}{l}\frac{1}{n},n\ge 1\\ 0,n\le 0\end{array}$$
则其能量为
$$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}{)}^2=\frac{{\pi }^2}{6}<\infty$$
所以该信号为能量信号。

功率信号示例

  已知序列
$$x[n]=\{\begin{array}{l}3(-1{)}^n,n\ge 0\\ 0,n<0\end{array}$$
  由能量的定义式
$${\epsilon }_x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2=\sum _{n=0}^{\infty }9=\infty$$
所以该信号不是能量信号。

  由平均功率的定义式
$$P_x=\underset{K\to \infty }{\lim }\frac{1}{2K+1}\sum _{n=0}^{K}9=\underset{K\to \infty }{\lim }\frac{9(K+1)}{2K+1}=4.5$$
所以该信号为功率信号。

其他分类

  若序列$x[n]$的每一个样本值都小于一个有限的正数，那么称$x[n]$是有界的，即
$$|x[n]|\le B_x<\infty$$

  若序列$x[n]$满足
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|<\infty$$
那么称序列绝对可和。

  若序列$x[n]$满足
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2<\infty$$
那么称序列平方可和。其实上面的表达式就是一个信号能量的表达式，所以说，如果一个信号平方可和，那么这个信号就是能量信号。