熵的概念在统计学习与机器学习中真是很重要,熵的介绍在这里:信息熵 Information Theory 。今天的主题是最大熵模型(Maximum Entropy Model,以下简称MaxEnt),MaxEnt 是概率模型学习中一个准则,其思想为:在学习概率模型时,所有可能的模型中熵最大的模型是最好的模型;若概率模型需要满足一些约束,则最大熵原理就是在满足已知约束的条件集合中选择熵最大模型。最大熵原理指出,对一个随机事件的概率分布进行预测时,预测应当满足全部已知的约束,而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下,概率分布最均匀,预测的风险最小,因此得到的概率分布的熵是最大。
直观理解 MaxEnt
在求解概率模型时,当没有任何约束条件则只需找到熵最大的模型,比如预测一个骰子的点数,每个面为 1616, 是, 当模型有一些约束条件之后,首先要满足这些约束条件, 然后在满足约束的集合中寻找熵最大的模型,该模型对未知的情况不做任何假设,未知情况的分布是最均匀的。举例来说对于随机变量 XX ,其可能的取值为 {A,B,C}{A,B,C} ,没有任何约束的情况下下,各个值等概率得到的 MaxEnt 模型为:
当给定一个约束 P(A)=12P(A)=12 , 满足该约束条件下的 MaxEnt 模型是:
如果用欧式空间中的 simplex 来表示随机变量 XX 的话,则 simplex 中三个顶点分别代表随机变量 XX 的三个取值 A, B, C , 这里定义 simplex 中任意一点 pp 到三条边的距离之和(恒等于三角形的高)为 1,点到其所对的边为该取值的概率,比如任给一点pp ,则P(A)P(A) 等于 pp 到 边 BC 的距离,如果给定如下概率:
分别用下图表示以上两种情况:
明白了 simplex 的定义之后,将其与概率模型联系起来,在 simplex 中,不加任何约束,整个概率空间的取值可以是 simplex 中的任意一点,只需找到满足最大熵条件的的即可;当引入一个约束条件 C1C1 后,如下图中 (b),模型被限制在 C1C1 表示的直线上,则应在满足约束 C1C1 的条件下来找到熵最大的模型;当继续引入条件 C2C2 后,如图(c),模型被限制在一点上,即此时有唯一的解;当 C1C1 与 C2C2 不一致时,如图(d),此时模型无法满足约束,即无解。在 MaxEnt 模型中,由于约束从训练数据中取得,所以不会出现不一致。即不会出现(d) 的情况。
接下来以统计建模的形式来描述 MaxEnt 模型,给定训练数据 {(xi,yi)}Ni=1{(xi,yi)}i=1N ,现在要通过Maximum Entrop 来建立一个概率判别模型,该模型的任务是对于给定的 X=xX=x 以条件概率分布 P(Y|X=x)P(Y|X=x) 预测 YY 的取值。根据训练语料能得出 (X,Y)(X,Y)的经验分布, 得出部分 (X,Y)(X,Y) 的概率值,或某些概率需要满足的条件,即问题变成求部分信息下的最大熵或满足一定约束的最优解,约束条件是靠特征函数来引入的,首先先回忆一下函数期望的概念
对于随机变量 X=xi,i=1,2,…X=xi,i=1,2,…,则可以得到:
随机变量期望: 对于随机变量 XX ,其数学期望的形式为 E(X)=∑ixipiE(X)=∑ixipi
随机变量函数期望:若 Y=f(X)Y=f(X) , 则关于 XX 的函数 YY 的期望: E(Y)=∑if(xi)piE(Y)=∑if(xi)pi.
特征函数
特征函数 f(x,y)f(x,y) 描述 xx 与 yy 之间的某一事实,其定义如下:
特征函数 f(x,y)f(x,y) 是一个二值函数, 当 xx 与 yy 满足事实时取值为 1 ,否则取值为 0 。比如对于如下数据集:
数据集中,第一列为 Y ,右边为 X ,可以为该数据集写出一些特征函数,数据集中得特征函数形式如下:
为每个
约束条件
接下来看经验分布,现在把训练数据当做由随机变量 (X,Y)(X,Y) 产生,则可以根据训练数据确定联合分布的经验分布 P˜(X,Y)P~(X,Y) 与边缘分布的经验分布 P˜(X)P~(X) :
P˜(x,y)P~(x,y) 前面已经得到了,数数 f(x,y)f(x,y) 的次数就可以了,由于特征函数是对建立概率模型有益的特征,所以应该让 MaxEnt 模型来满足这一约束,所以模型 P(Y|X)P(Y|X) 关于函数 ff 的期望应该等于经验分布关于 ff 的期望,模型 P(Y|X)P(Y|X) 关于 ff 的期望为:
经验分布与特征函数结合便能代表概率模型需要满足的约束,只需使得两个期望项相等, 即 EP(f)=EP˜(f)EP(f)=EP~(f) :
上式便为 MaxEnt 中需要满足的约束,给定 nn 个特征函数 fi(x,y)fi(x,y) ,则有 nn 个约束条件,用 CC 表示满足约束的模型集合:
从满足约束的模型集合 CC 中找到使得 P(Y|X)P(Y|X) 的熵最大的即为 MaxEnt 模型了。
最大熵模型
关于条件分布 P(Y|X)P(Y|X) 的熵为:
首先满足约束条件然后使得该熵最大即可,MaxEnt 模型 P∗P∗ 为:
综上给出形式化的最大熵模型:
给定数据集 {(xi,yi)}Ni=1{(xi,yi)}i=1N,特征函数 fi(x,y),i=1,2…,nfi(x,y),i=1,2…,n ,根据经验分布得到满足约束集的模型集合 CC :
minP∈C ∑x,yP˜(x)P(y|x)logP(y|x) s.t. Ep(fi)=EP˜(fi) ∑yP(y|x)=1minP∈C ∑x,yP~(x)P(y|x)logP(y|x) s.t. Ep(fi)=EP~(fi) ∑yP(y|x)=1
MaxEnt 模型的求解
MaxEnt 模型最后被形式化为带有约束条件的最优化问题,可以通过拉格朗日乘子法将其转为无约束优化的问题,引入拉格朗日乘子:
w0,w1,…,wnw0,w1,…,wn, 定义朗格朗日函数 L(P,w)L(P,w):
现在问题转化为: minP∈CL(P,w)minP∈CL(P,w) ,拉格朗日函数 L(P,w)L(P,w) 的约束是要满足的 ,如果不满足约束的话,只需另 wi→+∞wi→+∞,则可得 L(P,w)→+∞L(P,w)→+∞ ,因为需要得到极小值,所以约束必须要满足,满足约束后可得: L(P,w)=maxL(P,w)L(P,w)=maxL(P,w) ,现在问题可以形式化为便于拉格朗日对偶处理的极小极大的问题:
由于 L(P,w)L(P,w) 是关于 P 的凸函数,根据拉格朗日对偶可得 L(P,w)L(P,w) 的极小极大问题与极大极小问题是等价的:
现在可以先求内部的极小问题 minP∈CL(P,w)minP∈CL(P,w) ,minP∈CL(P,w)minP∈CL(P,w) 得到的解为关于 ww 的函数,可以记做 Ψ(w)Ψ(w) :
上式的解 PwPw 可以记做:
由于求解 PP 的最小值 PwPw ,只需对于 P(y|x)P(y|x) 求导即可,令导数等于 0 即可得到 Pw(y|x)Pw(y|x) :
由于 ∑yP(y|x)=1∑yP(y|x)=1,可得:
进而可以得到:
这里 exp(1−w0)exp(1−w0) 起到了归一化的作用,令 Zw(x)Zw(x) 表示 exp(1−w0)exp(1−w0) ,便得到了 MaxEnt 模型 :
Pw(y|x)Zw(x)=1Zw(x)exp(∑i=1nwifi(x,y))=∑yexp(∑i=1nwifi(x,y))Pw(y|x)=1Zw(x)exp(∑i=1nwifi(x,y))Zw(x)=∑yexp(∑i=1nwifi(x,y))
这里 fi(x,y)fi(x,y) 代表特征函数,wiwi 代表特征函数的权值, Pw(y|x)Pw(y|x) 即为 MaxEnt 模型,现在内部的极小化求解得到关于 ww 的函数,现在求其对偶问题的外部极大化即可,将最优解记做 w∗w∗:
所以现在最大上模型转为求解 Ψ(w)Ψ(w) 的极大化问题,求解最优的 w∗w∗ 后, 便得到了所要求的MaxEnt 模型,将 Pw(y|x)Pw(y|x) 带入 Ψ(w)Ψ(w) ,可得:
以上推倒第二行到第三行用到以下结论:
倒数第二行到最后一行是由于:∑yPw(y|x)=1∑yPw(y|x)=1,最终通过一系列极其复杂的运算,得到了需要极大化的式子:
极大化似然估计解法
这太难了,有没有简单又 work 的方式呢? 答案是有的,就是极大似然估计 MLE 了,这里有训练数据得到经验分布 P˜(x,y)P~(x,y) , 待求解的概率模型 P(Y|X)P(Y|X) 的似然函数为:
将 Pw(y|x)Pw(y|x) 带入以下公式可以得到:
显而易见,拉格朗日对偶得到的结果与极大似然得到的结果时等价的,现在只需极大化似然函数即可,顺带优化目标中可以加入正则项,这是一个凸优化问题,一般的梯度法、牛顿法都可解之,专门的算法有GIS IIS 算法,。
这里给出来做下参考吧! ==
参考文献:
《统计学习方法》
http://blog.csdn.net/itplus/article/details/26550201
http://www.cnblogs.com/hexinuaa/p/3353479.html
A Maximum Entropy Approach A Maximum Entropy Approach
Classical Probabilistic Models and Conditional Random Fields