一致性算法中的节点下限
在众多的分布式一致性算法中，经常需要通过节点的数量满足某种规则来保证算法的正确性。比如Paxos算法，依赖一个“多数派（majority）”节点的存活。这类算法的共同目标是：容许尽量多的节点失败但又不影响算法的正确性。
这类问题本质上都抽象为数学上集合之间的逻辑关系，下面我们便从集合的性质入手讨论，为此先引入两个问题：
假设N为一非空结合，n为集合的元素个数，M1,M2,…,Mm为N的m个子集，其元素个数分别为n1,n2,…,nm，则：
- 求得M1∩M2∩…∩Mn≠Φ的条件
- 求得M1∩M2∩…∩Mn交集的最小个数
1. 两个元素
为此，我们先从M的两个子集A、B（元素个数分别为a、b）开始，假如A、B有交集则必须a+b>n，若a+b=n，则恰好能将N划分为两个完全划分（不相交的子集），因此大于n一定能保证相交。此时：a+b-n即为交集的最小个数，原因是不妨设(a-i)+b=n，(a-i)和b恰为N的两个完全划分，则i即为A与B重合的元素个数，i=a+b-n。综上：
- A∩B≠Φ的条件：a+b>n
- A∩B交集的最小个数：i=a+b-n
2. 三个元素
三个集合有交集的条件是什么？假如I=A∩B，则第三个集合只要与I有交集即可，这就把三个集合的问题转化为2个集合，因为两个集合的最小交集为a+b-n，因此，C的元素个数c必须满足c+(a+b-n)>n即a+b+c>2n才能保证有交集。同理，综上：
- A∩B∩C≠Φ的条件：a+b+c>2n
- A∩B∩C交集的最小个数：i=a+b+c-2n
3.归纳证明
通过：
两个集合的交集条件：a+b>n
两个集合的交集个数：a+b-n
三个集合的交集条件：a+b+c>2n
三个集合的交集个数：a+b+c-2n
推测：
m个集合的交集条件：n1+n2+…+nm>(m-1)*n
m个集合的交集和数：n1+n2+…+nm-(m-1)*n
不妨令t个集合时上述条件成立:
t个集合的交集条件：n1+n2+…+nt>(t-1)*n
t个集合的交集和数：n1+n2+…+nt-(t-1)*n
当t+1个集合与前面t个集合有交集时，必有n1+n2+…+nt-(t-1)*n+nt+1>n，整理即得：
t+1个集合的交集条件：n1+n2+…+nt+nt+1>t*n
t+1个集合的交集和数：n1+n2+…+nt+nt+1-t*n
特别的，当m个集合元素数相同时，比如都为a，则相交条件为：ma>(m-1)n=>a>(1-1/m)n，只要m稍微大点，a与n会非常接近。
4. Paxos算法中的Quorum
在Paxos算法中能保证算法正确运行的节点数为Quorum，Qc、Qf分别为Classic Paxos与Fast Paxos的Quorum。
1) 在Classic Paxos算法中，只要两个子集有交集即可，也即m=2，则a>n/2 <=> |Qc| ≥[n/2]+1
2) 在Fast Paxos算法中，引入了三个集合：
- 一个classic round的Quorum Qc
- 两个fast round的Quorum Qf1，Qf2
要求：
Qc∩Qc≠Φ ——— (a)
Qc∩Qf∩Qf≠Φ —– (b)
即三个集合有交集。但在Fast Paxos中描述问题的形式稍微有点改变：
F是Classic Round允许的最大失败数，E是Fast Round允许的最大失败数，E<=F，则上面式子等价于：
(a): m=2, N-F>N/2 => N>2F
(b): m=3, (N-F)+(N-E)+(N-E)>2N => N>2E+F, 又E<=F, 故N>2E+F>3E
如果E取上限E=F，则N>3F <=> F< N/3 <=> F≤⌈N/3⌉ -1，因此：
|Qc| = |Qf| ≥ N-⌈N/3⌉+1 ≥ ⌊2N/3⌋+1 ——— (1)
如果F取得上限，由(a)式的N>2F <=> F≤⌈N/2⌉ -1，F=⌈N/2⌉ -1为上限，根据N>2E+F <=> N>2E+⌈N/2⌉ -1 <=> E≤⌈N/4⌉，因此：
|Qc| ≥ N-(⌈N/2⌉-1) = ⌈N/2⌉+1
|Qf| ≥ N-⌈N/4⌉ ≥ ⌈3N/4⌉ ——— (2)
上述(1)、(2)都为可行性结果，统称为保证一致性算法的节点下限。
但在实际中因为(1)保证|Qc| = |Qf |，编程更简单、清晰，所以使用得更多。
根据这个结论，会得出Classic Paxos与Fast Paxos所需的最小节点数：
Classic Paxos：N > 2F ≥ 2F+1 ≥ 3
Fast Paxos：N > 2E+F ≥ 3E+1 ≥ 4
即在允许一个节点失败的情况下，Classic Paxos至少需要3个节点，而Fast Paxos则需要4个。
很明显，通过集合工具能极大地简化一致性算法的共性问题的研究。
5. 参考资料
- 《On the Coordinator’s Rule for Fast Paxos》
- 《Fast Paxos》