卡特兰数的递推公式推导
今天做acm题时碰到了卡特兰数,于是就上百度查了卡特兰数的解释,其中有这么一段:
出栈次序
一个 栈(无穷大)的 进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的 出栈序列?
常规分析
首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中第一个出栈的序数是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n
首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。
最后，令f（0）=1，f（1）=1。
其中提到首次出空之前第一个出栈的序数k,k把序列分成了1~k-1和k+1~n两个部分,把k作为序数时f(n)=f(k-1)*f(n-k),初看还比较有理,但是仔细一想,这个k之前的k-1个数都已经入栈,出栈序列只有一种,绝对不可能能是f(k-1)种,而且根据这个解释,序列的第一个数就应该是k,那么当k为4时,f(n)=f(3)*f(0)=5,但是根据图中程序结果4开始的序列只有一个.
各种搜索百度都只能找到公式而没有具体说明,我决定自己想办法解释,苦思冥想时突然灵光一现,把出栈序列分成两部分的不是第一个出栈的数,而是最后一个出栈的数,即所得序列的最后一个数,比对图中的程序结果,当k=1时有5个,k=2时有2个,k=3时有2个,k=4时有5个,正好符合公式.
怎么解释这个k呢,因为这个k是最后出栈的,因此当k入栈时1~k-1已经全部出栈了,也就是前k-1个数有f(k-1)种序列,而当k出栈时k+1~n已经全部出栈了,也就是后n-k个数有f(n-k)种序列,根据乘法原理,当最后一个数为k时,f(n)=f(k-1)*f(n-k),再根据加法原理,k=1,2,...n,即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。
想到这里,递推公式的由来我终于想明白了,至于百度百科对卡特兰数的其他说明,暂时没看出问题,特意写一篇博客,帮助没看懂百科解释的同学.