【八皇后】 回溯法 详解+手动模拟过程+图

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题。

上图就是八皇后问题的其中一种解法，八皇后问题采用回溯算法来解决，如果读者不能很好的理解递归的话，可能理回溯算法很吃力，回溯算法的核心思想类似于深度优先搜索，如果当前结点可行，就搜索当前结点的一个子结点，反之，就回溯，搜索当前结点的子结点。递归所生成的树是一棵深度优先搜索树，叶子结点是那些不合法的结点(换句话说，就是无法向下递归的结点)和答案结点。

我们来模拟一遍4皇后问题，便于读者理解。

对于第一行：       对于第二行：        对于第三行：       对于第四行：

(1,1)         a           （2，1）       e      （3，1）    i          （4，1）   m                     

(1,2)         b           （2，2）        f      （3，2）    j          （4，2）    n

(1,3)         c           （2，3）        g     （3，3）    k          （4，3）    o

(1,4)         d           （2，4）        h     （3，4）    l          （4，4）     p

一开始我们先放第一行的第一个位置（1，1）执行a,

然后放第二行，因为放第一列（2，1）会和（1，1）列冲突，放第二列（2，2）会和（1，1）对角线冲突，所有只能将皇后放在（2，3） 执行g

接下来放第3行，放第一列（3，1）和（1，1）列冲突，放第二个列（3，2）会和（2，3）对角线冲突，放第三列（3，3）会和（2，3）列冲突，放第四列（3，4）和（2，3）冲突，也就是说第三行无论怎么放皇后都会冲突，所以上一个皇后放的位置不合法，我们就回溯，上一个皇后放的位置是（2，3），现在我们拿掉（2，3）那个位置的皇后，放到（2，4）执行h。

因为回溯，所以我们现在又要放第三行的皇后，前面只放了（1，1）和（2，4），现在放第三行的皇后，放第一列（3，1）和（1，1）列冲突，所以我们现在将皇后放在第二列（3，2）执行j

现在放第4行，前面放了（1，1）、（2，4）、（3，2）。放在第一列（4，1）会和（1，1）列冲突，放第二列（4，2）和（3，2）列冲突，放第三列（4，3）会和（3，2）对角线冲突，放第4列会和（2，4)列冲突。所以第4行没有合法的位置，也就是说上一个放的皇后位置不对，我们就回溯，拿走上一个皇后（3，2）。

还是放第三行，前面只放了（1，1）、（2，4）。放第三列（3，3）会和（1，1）对角线冲突，放第四列（3，4）和（2，4）列冲突，也就是说上一次放的皇后不对，回溯，拿走上一个皇后（2，4），此时第二行已经没有位置合法了，所以再回溯，拿走上上一个皇后（1，1），所以把皇后放在第一行第一列，后面无论怎么放都不合法，所以我们考虑将皇后放在（1，2），执行b。

接下来放第二行的皇后，前面放了（1，2），放第一列（2，1）和（1，2）对角线冲突，放第二列（2，2）和（1，2）列冲突，放第三列（2，3）和（1，2）对角线冲突，所以将皇后放在第4列（2，4）,执行h。

接下来放第三行的皇后，前面放了（1，2）和（2，4），放第一列（3，1）合法，执行 i 。

现在放第四行的皇后，前面放了（1，2）、（2，4）、（3，1）。放第一列（4，1）和（3，1）列冲突，放第二列（4，2）和（2，4）对角线冲突，放第三列（4，3）合法，执行o，此时已经放完4行的皇后，所以为一个可行解（1，2）、（2，4）、（3、1）、（4，3）

读者可以模仿上面的过程推出另外一组解（1，3）、（2、1）（3、4）、（4、2）。直到考虑完所有的子结点，才算结束。

因为笔者今天写这篇博客的时候去图书馆没带草稿本，所以后期有时间补上上面模拟过程的图。

下面给出八皇后问题的2种代码

1：第一种代码可能读者看不出来回溯的过程在哪里，其实类似于一棵深度优先搜索树，当前结点不合法时，就不在向下递归，而是回到上一个调用这个函数的那个函数，也就是当前结点的父节点。

#include
using namespace std;
const int maxn=100+7;
int c[maxn];
int n;
int tot;
void search(int cur)          //放第cur个皇后
{
    if(cur==n){       //如果放了n个就答案+1
        tot++;
    }
    else for(int i=0;i

2：第二种代码很容易看出来回溯过程，第二种代码的运行速度更快，因为设置了一个标志数组vis[3][maxn]。

vis[0][i]：用来判断是否列冲突，这个很好理解，如果前面的皇后放在了第cur行，vis[0][cur]就会被标记。

读者可能需要画两个图来理解下面两个数组，笔者后期补上，其实笔者认为也可以用借助一次函数来理解。

主对角线的一次函数为：y=x+c 所以y-x=c为一个定值，所以我们可以用y-x+n来标记那条对角线，为什么要加n呢，因为y-x可能小于0，超出了数组的下标。

副对角线的一次函数为：y=-x+c 所以y+x=c为一个定值，所以我们用y+x来标记那条对角线。 

vis[1][cur+i]：副对角线

vis[2][cur-i+n]： 主对角线

#include
using namespace std;
const int maxn=100+7;
int c[maxn];
int vis[3][maxn];
int n;
int tot;
void NQueen(int cur)         //考虑放第cur行的皇后
{
    if(cur==n){         //如果已经放了n个皇后 答案+1
        tot++;
    }
    else for(int i=0;i