十二、线性变换及矩阵向量积

1. 线性变换的定义

线性代数讲的是向量的加减乘除，向量的变换等；向量变换中，有一种特殊的变换，叫做线性变换，那么，什么是线性变换呢？

假设：

如果：

那么，向量变换T就是线性变换

2. 线性变换举例

假设：

计算向量变换T是否是线性变换，假设：

1. 计算条件一是否满足

2. 计算条件二是否满足

两个条件都满足，因此向量变换T是线性变换

如果向量变换只涉及到不同分量的线性组合，那么该向量变换很可能就是线性变换

线性代数分为：线性组合 linear combinations、线性变换 linear transformation

3. 单位矩阵

假设：

矩阵I就是n * n的单位矩阵

单位矩阵一个非常好的性质：单位矩阵乘以任何向量，结果还是原向量

标准基：单位矩阵的列向量集合

称为的标准基

4. 线性变换与矩阵向量积之间的关系

矩阵向量积，满足线性变换的两个条件，因此矩阵向量积是线性变换。任何线性变换，都可以被重新描述为矩阵与向量的乘积，为什么要用矩阵向量积表示线性变换？因为特别简洁。那么如何才能将一个线性变换表示成矩阵与向量的积？

5. 线性变换重写为矩阵向量积

任意向量都可以写成标准基的线性组合：

根据线性变换的定义：

此时，线性变换就重写成了矩阵与向量的积：

1. 对标准基的每一个列向量执行相同的线性变换，从而构造需要的矩阵。

2. 用构造出的矩阵乘以向量，就将原线性变换重写成了矩阵向量积

6. 举例

假设：

因此：

重写完毕