Tarjan 算法笔记

概念说明

Tarjan算法

Tarjan算法属于图论中的一个算法,主要用来求一个图中的强连通分量,之后就可以做很多事,比如说缩点、求双联通分支等。

强连通

在一个有向图中,对于几个点,如果它们能够互相到达,那么称它们强连通。

强连通分量

可以这样理解:把一个图里的点分成几坨,每坨中的点都能够互相到达(他们强连通),然后再把每一坨看成一个点,能保证这些“点”中没有互相强连通的”点“,那么这每一坨就都是一个强连通分量
简单地说,一个有向图中,每个极大强连通子图称为它的一个强连通分量

方法

void tarjan(int i)

开两个数组dfn和low分别代表搜索的时间顺序和它所能到达dfn最小的值;(定义在函数外部)
搜索到一个新的点 i,把它压到栈里面,再把它的dfn和low赋好(++time);
再枚举每个 i 的儿子节点 j(即i能直接到达的点),按照下面处理

条件 方案
j已经在栈里面 low[i]=min(low[i],dfn[j])
j还没搜过(dfn[j]==0) 搜索j,即tarjan(j),之后low[i]=min(low[i],low[j])

所有的 j 都枚举完且low[i]更新完后,若dfn[i]==low[i],那么就说明当前的栈里面,i 以及它上面的元素能组成一个强连通分量,处理一下答案(弹出栈并依照题目要求做各种处理)。

原理

  1. Tarjan算法基于定理:在任何深度优先搜索中,同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说,强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树
  2. 可以证明,当一个点既是强连通子图 Ⅰ 中的点,又是强连通子图 Ⅱ 中的点,则它是强连通子图 Ⅰ∪Ⅱ 中的点。
  3. 这样,我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意,该子树中的元素在栈中一定是相邻的,且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。
  4. 强连通分量是由若干个环组成的。所以,当有环形成时(也就是搜索的下一个点已在栈中),我们将这一条路径的low值统一,即这条路径上的点属于同一个强连通分量。
  5. 如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值,则它是该搜索子树的根。这时,它以上(包括它自己)一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

(此段参考http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6195337)

一些小问题

  1. 在学习时,总是纠结在tarjan中为什么”要是j在栈里面,则low[i]=min(low[i],dfn[j])”,要是用low[j]会怎么样呢?然而在oj上测过之后,发现用 low[j] 实际上也没问题!
  2. 后来又问了一下别人,也查阅了一下资料,发现这个“low”还是“dfn”的问题是这样的,要是光是求强连通分量的话直接用 low 也行,但是要是有进一步的用途比如求桥等,可能就要用“dfn”了。

代码

主要过程

void tarjan(int p){
    dfn[p]=low[p]=++time;
    st[++stnum]=p;
    _st[p]=1;
    for (int k=head[p],q=A[k].number; k; k=A[k].next,q=A[k].number){
        if (!dfn[q]){
            tarjan(q);
            low[p]=min(low[p],low[q]);
        }
        else if (_st[q]) low[p]=min(low[p],dfn[q]);
    }
    if (dfn[p]==low[p]) doans(p);
}

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