卡特兰数

简介

卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。
卡塔兰数的一般项公式为：

卡特兰公式

其前20项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190。

原理

1. 令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：
   h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
   例如：
   h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
2. 另类递推式[3]：
   h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
3. 递推关系的解为：
   h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
4. 递推关系的另类解为：
   h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

性质

1. 卡特兰数的另一个表达形式为：

   
   
   

   表现形式
   
   

   所以，卡特兰数是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。

2. 递推关系

递推1

递推2

这是一个比较快速的计算卡特兰数的方法。

3. 卡特兰数的渐进增长

渐进增长

它的含义是当n→ ∞时，左式除以右式的商趋向于1。

4. 所有的奇卡塔兰数Cn都满足：

   
   
   

   奇卡塔兰数
   
   

   所有其他的卡塔兰数都是偶数。

应用

• dyck word
  Cn 表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X 和n 个Y 组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X 的个数大于等于Y 的个数。以下为长度为6的dyck words:
  XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• n对括号正确匹配数目
  将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：
  ((())) ()(()) ()()() (())() (()())

给定n对括号，求括号正确配对的字符串数，例如：
0对括号：[空序列] 1种可能
1对括号：() 1种可能
2对括号：()() (()) 2种可能
3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能
那么问题来了，n对括号有多少种正确配对的可能呢？
考虑n对括号时的任意一种配对方案，最后一个右括号有唯一的与之匹配的左括号，于是有唯一的表示A(B)，其中A和B也是合法的括号匹配序列
假设S(n)为n对括号的正确配对数目，那么有递推关系S(n)=S(0)S(n-1)+S(1)S(n-2) +...+S(n-1)S(0)，显然S(n)是卡特兰数。

• 括号化
  矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

• 出栈次序
  一个栈无穷大的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
  分析：

首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。
首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1 ~ k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n-1）（n=0，1，2，……）。
最后，令f（0）=1，f（1）=1。

相似问题-买票找零

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

• 凸多边形三角划分
  Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
  
  

  凸多边形三角划分
  
  分析 :

如果纯粹从f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去归纳，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规律。
因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。
此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。
最后，令f（2）=1，f（3）=1。

类似问题 ：

一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

• 给定n个节点组成不同的二叉树个数
  Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。

二叉树个数

• Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：

单调路径的个数

• Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况：

阶梯状图形的方法个数

参考：

卡特兰数-百度百科
卡塔兰数-维基百科
Catalan数计算及应用
杭电1023——Train Problem II
2012腾讯实习笔试中看到的Catalan数