关于Kriging代理模型的理解（转）

1.回归问题

如果有多个自变量和一个因变量和代表它们关系的训练样本，目的就是求这个因变量关于这多个自变量的函数。

二. 最小二乘法    （转）

   我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...

   对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

        （1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

　 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。

 　样本回归模型：

                                     其中e_i为样本（X_i, Y_i）的误差

   平方损失函数：

                      

   则通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

                       

    根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

    解得：

                   

 

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

2.  Kriging模型（转）
　　Kriging模型是一种估计方差最小的无偏估计模型，具有局部估计的特点，最早由南非地质学者Ｄanie Krige于１９５１年提出，主要应用领域为地质界：
　　ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)＋ｚ(ｘ)
　　上式中ｇ(ｘ)是一个确定性部分，称为确定性漂移，一般用多项式表示；ｚ(ｘ)称为涨落，具有如下的统计特性
　　Ｅ[ｚ(ｘ)]＝０
　　Ｖａｒ[ｚ(ｘ)]＝σ２
　　Ｅ[ｚ（ｘｉ），ｚ（ｘ）]＝σ２Ｒ（ｃ，ｘ，ｘｉ） =〉
　　　 Ｅ[ｆ（ｘ）]＝ｇ（ｘ）
其中Ｒ（ｃ，ｘ，ｘｉ）是带有参数ｃ的相关函数，常用的相关函数有
　　高斯函数：Ｒ(ｄ)＝ｅｘｐ（－ｄ２／ｃ２)
　　指数函数：Ｒ(ｄ)＝ｅｘｐ(－ｄ／ｃ)
利用样本点ｘｉ的响应值ｙｉ的线性加权叠加插值计算待测点ｘ的响应值：

              

考虑无偏条 件

             ，

有：　        　

 

利用最小二乘法可以求出权重ｗ(ｘ)。用Kriging模型估计的误差为：

          

　　Kriging方法具有局部估计的特点，而且相关函数的连续性和可导性也比较好，在解决非线性程度较高的问题时往往也能取得比较理想的拟合效果。