LeetCode---53. Maximum Subarray

53. Maximum Subarray

题目

https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/description/
给出一个整数数组，要求找到最大和子串（至少包含一个数字），返回最大和。

思路及解法

这里我们须要注意子串和子序列之间的差别。
子串是指数组中连续的若干个元素。而子序列仅仅要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有$2^n$
个子序列和$\frac{n(n+1)}{2}$个子串。

另外，我们还需要知道一个结论。对于array[1…n]，假设array[i…j]就是满足和最大的子串，那么对于不论什么k(i<=k<=j)，我们有array[i…k]的和大于0。因为假设存在k使得array[i…k]的和小于0。那么我们就有array[k+1…j]的和大于array[i…j]，这与我们假设的array[i…j]就是array中和最大子串矛盾。
简单说，如果是最大和子串，那么在这个子串的范围内，某个元素前面的子子串一定大于零

另外，在学习别人的方法的时候，看到一个博主说道面试时闻到了这道题，所以也贴过来，增长点经验~~

这道题在Amazon电面二的时候问到过，不过不是返回最大值，而是返回subarray。
这样的话我们要保存local和global的starting index以及length。 
Follow up是overflow或者underflow该怎么处理， throw ArithmeticException就可以了。

方法一

首先我们遍历每一个元素，做两个判断，第一，当前元素是不是要和其他元素组成一个子串，也就是这个元素是不是要放到当前的子串里。第二，如果当前子串不是最大子串了，我们怎么更新一个子串。
假设我们现在站在某一个元素k的位置上，他的前面已经有一个子串了，这时候如果这个子串的和是小于零的，根据我们上面给出的结论，这个子串一定不是最大子串，所以我们应该更新子串。那么有一个问题是新的子串的起始位置在哪里呢？其实，我们知道这个子串是我们一步一步迭代来的，也就是这个子串的每一个子串都是经过这个方法得来的，所以他们都满足上面说的结论。如果这个起始位置在这个子串的内部，比如位置x，那么x前面的子子串是大于零的，而本身这个子串小于零，所以x后面的子子串也一定小于零，那么将x作为起始位置相当于给新的子串增加了一个小于零的子子串，根据结论，这个新的子串一定不是最大和子串。所以，新的起始位置一定不在子串的内部，应该在位置k。
如果这个子串是大于零的，根据结论，我们是可以吧k放到这个子串里的，但是我们并不能保证加入k后子串的和变大，因为k可能小于零，但同时s后面的元素加入子串后有可能使得子串和变大。所以我们就把符合结论的子串的和通过一个result变量记录下来，在每一次更新子串后，看看新的子串和是不是比result大了，如果是，就更新result，否则result保持不变。最终，我们输出result就行了。
但是这种方法的效率低，只有11%

方法二

看了discussion里高票回答，思路和方法的一样，都是动态规划，只是他用的数组来表示的，更容易理解，所以也贴一个代码过来。

方法一
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int result = nums[0];
        int k = nums[0];
        
        for(int i=1; iresult){
                result = k;
            }
            //result = Math.max(k, result);  最后一个判断换为这个语句可以提升到27%
        }
        return result;
    }
}

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int result = nums[0];
        //int k = nums[0];  //其实dp数组是可以替换为k的，这样可以减少空间复杂度
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        
        for(int i=1; i 0 ? dp[i - 1] : 0);
            result = Math.max(dp[i], result);
        }
        return result;
    }
}