二叉树探究之非叶子结点和叶子结点对半分且最多差一个

分析第一步，二叉树根据完整性（即最后一层是否满了）可分为“完整二叉树”和“非完整二叉树”（不知道有没有这个概念，自己定义的）,然后从特殊情况开始即“完整二叉树”开始分析。

设二叉树共N层，每层都是满的。那么第一层有1个结点，第二层有1*2个结点，第三层有1*2*2个结点，第N层有2^(N-1)个结点。

一共有1+2+2*2+2^3+2^4+·····+2^(N-1)个结点根据等比数列的求和可以得到结果为(2^N)-1个结点。
由此发现一个神奇的现象，1.完全二叉树个数是奇数个，因为除了顶端哪一个，地下每层都是成对出现的。

总结点数：S = (2^N)-1,最后一层结点数（叶子结点数）：2^(N-1)

所以非叶子结点数为2^N-1-2^(N-1) = 2(N-1)-1  正好比最后一层结点（叶子结点）少一个

 

那么非完整二叉树又如何呢？

非完整二叉树最后一层最少要缺少1个，最多缺少几个呢，我们知道完整二叉树最后一层一共有2^(N-1)个结点，假设非完整二叉树最后一层少了2^(N-1)个结点，那么他就是完整二叉树，层数是N-1,所以最后一层不能少2^(N-1)个，所以最多缺少2^(N-1)-1个也就是最后一层只剩下一个结点了。

假设非完整二叉树少了M个结点，那么M>=1并且M<=2^(N-1)-1

那么他的叶子结点和非叶子结点各是多少呢？这里有个误区，你可能认为叶子节点就是最后一层的结点个数，错！，第二层右边的部分结点也可能是叶子结点，只要他地下没有结点链接了就是叶子结点！比如下图红色部分都是叶子结点

那么第二层究竟有多少叶子结点呢？

我们知道一个结点下面最多有两个结点，那么，非完整树下面缺少M个节点造就了多少个叶子节点呢？

M=1,造就了0个，如下图

M=2,造就了1个叶子节点，如下图

依次类推，假设M是偶数，那么创造了M/2个叶子节点，如果M是奇数，那么创造了（M-1）/2个叶子节点。
相对应的非叶子节点就少了M/2个或者少了（M-1）/2个。

假设新转换的叶子节点个数是T,那么
叶子节点数为原本有的2^(N-1)个少了M个，多了T个，就是2^(N-1)-M+T个，且T = M/2或者T = (M-1)/2

整颗树的结点有完全数的(2^N)-1个减去少了的M个，就是（2^N）-1-M个
非叶子结点个数就是两者差即：(2^N)-1-M-[2^(N-1)-M+T]=2^(N-1)-1-T     

      数学不好的看这里：(2^N)-1-M-[2^(N-1)-M+T] 展开括号得到 (2^N)-1-M-2^(N-1)+M-T
      然后M消掉得到(2^N)-1-2^(N-1)-T   然后2^N可以转化为2*2^(N-1)  得到  2*2^(N-1)-2^(N-1)-1-T

      最后得到2^(N-1)-1-T 

叶子结点与非叶子结点的差=2^(N-1)-M+T - [(2^N-1)-1-T] = 2*T-M+1

当M为偶数的时候，T=M/2   上述差值为1

当M为奇数时，T = (M-1)/2 上述差值为 0

所以叶子结点和非叶子结点对半分，叶子结点最多多一个