最大公约数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数

最大公约数

欧几里德算法，也称辗转相除法
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)
即a和b的最大公约数等于b和a%b的最大公约数

证明

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设x是a,b的一个公约数，则有x|a, x|b, 而r = a - kb，因此x|r
因此x也是（b,a mod b）的公约数
因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等
得证：当a%b为0的时候，则另一个数为最大公约数

C实现

int gcd(int a, int b){
    //如果a
	if(a<b) int tmp = a, a = b, b = tmp;
	//如果b为0则结束循环,返回0，否则计算b与a%b的gcd
	return b==0 ? a : gcd(b, a%b); 
}

最小公倍数

假设求 x,y的最小公倍数

公式： x*y=最小公倍数*最大公约数