圣杯问题VI：广义调和映照（上）

不倒嗡嗡

本文出自 老顾谈几何  经顾老师同意转载！

图1. 西蒙斯几何物理中心。

2017年四月17日至21日，“离散和计算几何春季学校”（SCGP Spring School on Discrete and Computational Geometry）在纽约石溪召开。纯粹数学、计算数学和计算机科学领域的众多学者欢聚一堂，共同探讨离散几何的发展前沿问题。会议在西蒙斯几何物理中心（Simons Center for Geometry and Physics）举行，环境优美，气氛温馨。西蒙斯先生（Jim Simons）是陈省身先生的高足，丘成桐先生的师兄，陈-西蒙斯示性类（Chern-Simons Characeteristic Class）的发现者，文艺复兴公司（Renaissance）的创始人。文艺复兴公司是华尔街金融届的翘楚，西蒙斯先生富可敌国，独力资助了美国一半的理论物理博士后职位。

在会议上见到了许多新朋老友，聆听了他们精彩纷呈的演讲。克朗所的叶奇教授（Chee Yap）介绍了计算几何的数值稳定性问题，意犹未尽，醇厚绵长；俄亥俄州立大学的王欲甦教授详尽系统地讲解了计算拓扑中的Persistent Homology理论，雄浑壮阔，恣肆汪洋；麻省理工大学的Scott Sheeld讲解了随机几何结构，将概率、共形几何、量子物理有机结合，绚丽奥妙，神秘深邃；石溪的高洁教授讲解了Ricci流在互联网、社交网络中的应用，深刻隽永，潜力无限。沃尔夫奖得主，拓扑领域的泰斗Denis Sullivan教授也参加了绝大多数的演讲，和演讲者积极互动，才思敏捷，异常亢奋。在会议上老顾也遇到了一位年轻才俊，布朗大学数学系的林伟扬教授 Lam, Wai Yeung (Wayne）。林教授在香港中文大学求学期间，得到雷诺铭教授的指导，研习了老顾的《计算共形几何》，从而对共形几何产生浓厚兴趣。后经雷教授的推荐，到德国柏林追随Ulrich Pinkall教授进一步深造，提出了一种离散全纯二次微分的方法，并将其应用于离散极小曲面的构造，其观点高屋建瓴，其理论精巧优美。老顾看到了一颗学术界的新星，正在冉冉升起。看到自己的学术工作，在世界范围内激发了年轻一代学者的成长，老顾倍感欣慰。

老顾在自己的《离散几何》课程上正在讲解神圣网格问题（Holy Grid）和全纯二次微分（Holomorphic Quadratic Differential）。我们前面系统介绍过背景知识（圣杯问题I,II,III,IV,V），在计算机辅助设计CAD和计算机辅助制造CAE领域，网格生成（Mesh Generation）具有根本的重要性。结构化六面体网格的自动生成问题，一直是这些领域最为挑战性的问题，被称为是神圣网格问题。近些年来，依随等几何分析（isogeometric analysis）方法的兴起，神圣网格问题的解决变得愈发迫切。大连理工大学的罗钟铉和雷娜教授团队和我们团队合作，共同提出了基于曲面叶状结构（foliation）理论的方法，来自动生成神圣网格【1】。这种方法理论严密，算法自动，六面体网格全局结构化，保证奇异点和奇异线的数目达到理论下界。其基本指导思想如下：给定一个实体（volume），如果存在一个结构化的六面体网格剖分，则在体表面诱导了一个结构化的四边形网格剖分，如果我们将四边形网格不停地细分，其极限是两个相互横截的叶状结构。因此我们需要首先计算叶状结构。曲面上的叶状结构和曲面上的全纯二次微分等价，问题归结为如何计算曲面上所有的全纯二次微分。

图3.曲面上的叶状结构（foliation），诱导了图2中的神圣网格。

在课堂上，计算机科学背景的学生们都觉得虽然叶状结构的概念非常直观，但是全纯二次微分（holomorphic quadratic differentials）的概念过于抽象。显然，当数学家们提出这一概念的时候，并没有等几何分析，或许他们也不知道神圣网格问题。那么问题自然就提出来了：数学家为什么要提出这个概念？这个概念是人为的还是自然的？这个概念为什么没有被历史所淘汰？

相对于工程应用，数学家们最为关心的是自然界的各种结构，和这些结构之间的内在关系。全纯二次微分概念的凝练和提出原本就是为了解释一些拓扑和几何结构。我们可以从三个不同的理论角度来阐释。

图5. 曲面的双曲结构，及其诱导的复射影结构。

图6. 曲面的Pseduo-Anosov 自同胚，流体模式收敛到不变叶状结构。

未完待续……