GMM的世界，你不懂？(下篇)

在GMM的世界，你不懂？(上篇)里面简介了GMM的诞生的思绪历程，当然是猜的啦。这里稍微扩展点点，说明下下GMM的广和美。

GMM的广

前面（GMM的世界，你不懂？(上篇)，最大似然估计的2种论证），已经说明了如何把最小二乘法OLS，工具变量IV，最大似然估计MLE，如何囊括在MME

的旗下，而GMM中的第一阶段就是MME，这样基本就靠MME大统一了OLS，MLE， MME。当然这个统一，需要工具变量的思想的融入的。

这里稍微回顾下下：

最小二乘法OLS

直接通过假设 E(X,e) = 0 出发，代入矩估计的样本矩，就得到了OLS。

最大似然估计 MLE

通过替换函数设定为参数的导函数，然后证明矩估计为零，再根据导数为零就是求极值的思路，得到最大似然估计的目标公式。

工具变量IV

和最小二乘法类似，只是需要找到工具变量和自变量相关，而和误差无关。然后就很容易根据矩估计得到工具变量的表达式。

加权最小二乘法WLS

从普通最小二乘法OLS到WLS，一般只要进行一个标准化的替换就可以，这里也是这样的。

我们也可以看看GMM的简单处理：

另外，对于异方差情况下OLS的WLS的简单对比：

2阶段最小二乘法 2SLS

对于2SLS来说，那么矩估计的形式和IV的矩估计的形式一致，但是对于GMM第二步里面的权重的设立就不一样了。这也是，我们前面说GMM某种意义上是泛化的IV。

GMM的美

GMM在兼容这么多模型的同时，还自带特别好的性质，首先是一致性，其次具有渐近正态性，最后如果选择合适的权重矩阵，还能得到有效的估计。一般情况下，权重的选择和估计的向量值函数的方差有关，和加权最小二乘法非常相似。

这其中，因为满足渐近正态性，使得各种常用假设检验的手段也能够被应用，譬如卡方检验，学生检验等等。

另外就是，由于引入了向量值函数的思想，对非线性的情况也进行了很好的兼容。譬如，非线性最小二乘法NLS，也可以使用GMM来进行表示。

这样大概概述了下下， GMM美好的特性。

小结：

这里简单概述了下GMM的广泛兼容性和性质美，不愧广美美和诺贝尔奖级别的发明。但是任何手段不是十全十美的，譬如GMM不自带向量值函数的自动推荐；站在3SLS的基础上，对于复杂的时间序列也没有很好的处理；也不自带Bootstrap这种泛化增强的手段。但是，GMM毕竟是快30年前的发明了。

关键词：

NLS

Asypototically Normal

Bootstrap