约瑟夫问题

要是你怎么制定游戏规则？

现在有前面15个好人和后面15个坏人，他们围成一圈。现在从第一个好人开始，数到第n个人就拉出去枪毙，继续从被枪毙的那个人下一个人开始数到第n个人，拉出去枪毙，如此直至所有坏人被枪毙。

要求：好人不能被枪毙，坏人枪毙完游戏结束。

约瑟夫问题的来源

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

在网上看到一些人些的算法，有很多人用到了数组和容器，今天思考了半天发现了一个不需要任何数组和容器的算法，极大地降低了算法的时间复杂度，分享出来以供大家参考。

解题思路

阅读题目主干，前K个好人，后K个坏人，由于要枪毙掉所有的坏人，所以这个开始的间隔数应该是大于K的。

我们可以从数字来判断好人还是坏人，1至K表示好人，大于K的数字表示坏人。

一共2K个人，开始游戏，数到坏人，拉出去枪毙，人数变为2K - 1，游戏继续，又数到坏人，依此进行知道所有坏人被枪毙，即人数变为K，结束游戏。

游戏过程中一旦被数到的人是好人，则游戏结束。

以间隔数m = K + 1开始游戏。

因为是从第一个好人开始数的，也就是从数字1开始，数到第K + 1个人，判断是坏人，此时还有2K - 1个人，被枪毙的人后面的坏人顺序号全部前移一位。

继续数，从K + 1开始，数K + 1个人，这个人的序列号是

((K + 1) + (K + 1) - 1) % (2 * k - 1) = 2

第二个人是好人，不能被枪毙，游戏结束，说明间隔K + 1不满足要求。

我们继续用K + 1进行上述游戏，知道找到合适的m使得所有坏人被枪毙。

完整的算法如下

上图右侧算法结果解释

当好人数是3时，以5为间隔，可以干掉所有坏人。

当好人数为15时，以25779600为间隔，可以干掉所有坏人。