【题目2】已知递归函数求ack(3,3)的值

问题描述

评测题目: 给出如下的递归函数，求ack(3,3)的值。

int
ack(int m, int n)
{
  if (m == 0)      return n + 1;
  else if (n == 0) return ack(m - 1, 1);
  else             return ack(m - 1, ack(m, n - 1));
}

编程方法

根据题目中的c语言程序改写成python如下：

cost = 0

def ack(m,n):
    global cost
    cost += 1
    if m==0: return n+1
    elif n==0: return ack(m-1,1)
    else: return ack(m - 1, ack(m, n - 1))

print(ack(3,3))
print(cost)

运行得到结果为：

The answer is: 61
The number of iterations is: 2432

可知正确答案为61，计算机运行该程序时一共调用了ack()函数2432次。

数学方法

作为一道笔试题，想要迭代完成2432次计算是不可能的，因此这里讲解求ack(3,3)的数学思路。

• 讨论ack(1,0)和ack(2,0)，通过简单计算可得
  

• 讨论ack(1,n)，可得如下递归公式
  
  

• 讨论ack(2,n)，可得如下递归公式
  
  

• 讨论ack(3,n)，可得如下递归公式
  
  整理可得
  
  由等比数列公式可知
  
  又
  
  故
  

将n=3代入上式，可知正确答案为61。

参考文献

[1] http://blog.sina.com.cn/s/blog_a46817ff0102v1k0.html