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FFT前置知识

FT和DFT

傅里叶变换FT（fourier transform）用于将时域信号和频域信号之间变换，公式如下所示：

对于计算机系统中，无法处理连续的过程，因此离散化为离散傅里叶变换DFT（Discrete Fourier Transform）：

取，可将DFT改写为以下公式：

DFT改进（削减计算量）

首先分析原始公式的计算量，取一个8点DFT算法，对于一个点：

需要复数乘法N次，每次复数乘法由四次实数乘法和两次实数加法实现
需要复数加法N-1次，每次复数加法由两次实数加法构成

因此，对于一个点，需要实数乘法共4N次，实数加法共（2N-2+2N）=4N-2次。削减计算量的主要重点在上，使用欧拉公式有：

考虑的情况，有以下公式：
$W_N^{k+\frac{N}{2}} = e^{-\frac{2\pi}{N}j(k+\frac{N}{2})} = \cos\frac{2\pi (k+\frac{N}{2})}{N} - j\sin\frac{2\pi (k+\frac{N}{2})}{N} \\ = \cos(\frac{2\pi k}{N}+\pi) - j\sin(\frac{2\pi k}{N}+\pi) = -\cos\frac{2\pi k}{N} + j\sin\frac{2\pi k}{N} = -W_N^{k}$
同理有，因此以一个4点DFT为例，有以下公式：

可减少所需要的复数乘法的次数，进而减少对应的实数乘法和加法的数量

FFT

基2FFT

基2FFT指点数为的FFT变换，取的FFT变换如下所示：

将一个N点的FFT分解为两个FFT，一个为奇数项的FFT，另一个为偶数项的FFT。对于而言，考虑以下变化：

带入上式，有以下：
$X[k] =\sum\limits^{\frac{N}{2}-1}_{n=0}x(2n)W_N^{2kn} + W_N^k\sum\limits^{\frac{N}{2}-1}_{n=0}x(2n+1)W_N^{2nk} = \sum\limits^{\frac{N}{2}-1}_{n=0}x(2n)W_{\frac{N}{2}}^{kn} +W_N^k \sum\limits^{\frac{N}{2}-1}_{n=0}x(2n+1)W_{\frac{N}{2}}^{nk}$
取和分别是两个长度为的FFT运算，有：

上述有，考虑后半段结果，有：
$FFT_1(k+\frac{N}{2}) =\sum\limits^{\frac{N}{2}-1}_{n=0}x(2n)W_{\frac{N}{2}}^{n(k+\frac{N}{2})} = \sum\limits^{\frac{N}{2}-1}_{n=0}x(2n)W_{\frac{N}{2}}^{nk+\frac{Nk}{2}} = \sum\limits^{\frac{N}{2}-1}_{n=0}x(2n)W_{\frac{N}{2}}^{kn} = FFT_1(k)$
同理有，因此当时，考虑的周期性，有：

综上所述对于一个N点的FFT运算，有

其中，为对偶数序列的点FFT；为对应奇数序列的点FFT。该操作将一个N点FFT分解为两个点的FFT。

蝶形运算

蝶形运算为一个二输入二输出的运算，公式如下所示：

其中为两个输入；为两个输出；W为权值，均为复数。蝶形运算可以用于映射基2FFT，首先考虑2点FFT，两点FFT公式如下所示：

因此可以使用一个蝶形运算实现，权值为，现考虑一个4点FFT，首先将其分解为2个两点FFT，分解的公式为

分解步骤也可以用蝶形运算实现，因此整体运算如下图所示：

fft4.png

更多点数的FFT可以类似的进行，即不断分解为长度为一半的奇偶序列的FFT变换分层实现。

基2FFT原理

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