有方程组
\[\begin{cases}k_{1,1}a_1+k_{1,2}a_2+……+k_{1,n}a_n=b_1\\k_{2,1}a_1+k_{2,2}a_2+……+k_{2,n}a_n=b_2\\……\\k_{n,1}a_1+k_{n,2}a_2+……+k_{n,n}a_n=b_n\end{cases}\]
其中\(k_i,b_i\)已知，求\(a_i\)
根据初中芝士，我们可以选择加减/代入消元，但是对于算法来说，我们要有一般性的方法
一般来说，我们选择把主对角线全部消成\(1\)，主对角线下的数全部消成\(0\)
\[\begin{cases}1 k^{'}_{1,2} k^{'}_{1,3}=b^{'}_{1}\\0 1 k^{'}_{2,3}=b^{'}_{2}\\0 0 1=b^{'}_{3}\end{cases}\]
类似这样的，如果消不成上三角，那么说明原方程组无解
我们每次选择一个绝对值最大的系数，先将该系数消成\(1\)
用该项将其他式子的对应项直接消为\(0\)，其他项对应减去\(\frac{a_{jnow}}{a_{inow}}*a_{iw}\)
至于为什么选最大的，首先如果最大的为\(0\)或小于\(eps\)，那么方程组无解，其次选择最大的可以降低精度误差
对于\(n\)元方程组，显然需要消元\(n\)次，每次消元需要\(n^2\)复杂度，所以总复杂度\(O(n^3)\)
好像原理很简单，不过实现需要稍微脑补一下
\(upd:\)个人觉得没讲明白，但是我太菜了好像想不到更细致的解释了……先康康代码吧
#include
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
inline int read()
{
int x=0;char ch,f=1;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return f?x:-x;
}
int n;
double a[110][110],ret[110];
inline void main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n+1;++j)
{
scanf("%lf",&a[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int t=i;
for(int j=i+1;j<=n;++j)
if(fabs(a[j][i])>fabs(a[t][i])) t=j;
if(fabs(a[t][i]) 高斯消元解图上期望\(DP\)
bzoj1444: [Jsoi2009]有趣的游戏
洛谷P3232[HNOI2013]游走