半平面交

统一

半平面交：一条直线/向量将二维平面分成两部分，其中一部分就是半平面，现在求多条直线/向量给定半平面的交集。

这里，我们统一使用向量，并且假设一个向量的左边平面为给定半平面（如果一个向量的给定平面在其右边，那我们就把这个向量反向即可）。

判断

如何判断一个点\(C\)是否在一个向量\(\overrightarrow {AB}\)右边？在向量上任意找一点 \(A\) ，满足 \(\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}\gt 0\)

半平面交

我们先把向量极角排序（也可以先对给定直线通过斜率排序）。然后把相同极角向量（斜率相同）的进行一次贪心选取，因为我们假定是左边平面，那么相同极角的\(\vec a\) 和\(\vec b\)，如果\(\vec a\)在\(\vec b\)左边，那么贪心选取\(\vec a\)，\(b\)直接不可能贡献答案直接丢掉。如何判断是否在左边？直接在\(\vec b\)上取任意一点判断是否在\(\vec a\)右边即可。

接下来我们需要依次往单调队列里面按排好序的顺序添加边。添加之前需要判断前两条边的交点是否在添加边的右边，若是，删除最后一条边，同时也这样处理一下队首。

最后做完后，我们保证通过最后一条边限制了前面的边，但是添加过程中并未考虑添加边是否多余，于是判断队尾两边的交点是否在队首右边，如果在就删除队尾的边。

半平面交弱化版例题：

P3194

此题不需要弹出队首，也不需要在最后检查队尾，因为向量方向可以直接认为是向正方向的，最后交集是开放的，不可能成环。